ГЛАВА 2
АЛГОРИТМ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕНИЙ И СМЕЩЕНИЙ В ПОРОДНОМ МАССИВЕ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РАЗРАБОТКЕ СВИТЫ ПОЛОГИХ УГОЛЬНЫХ ПЛАСТОВ
2.1. Давление на кровлю угольного пласта в однородном массиве при неподвижном очистном забое
Изменение напряжений в кровле угольного пласта во времени для однородного пласта исследовано В.Г.Гношинским и описано в работе [54]. Приведем те аналитические соотношения из этой работы, которые используются в разрабатываемом алгоритме численного решения сформулированных задач.
Для нормальных напряжений ?у при неподвижном очистном забое имеет место формула
, (2.1)
где С - сцепление угля, МПа;
f = tg? - коэффициент трения угля по углю;
? - угол внутреннего трения угля;
? = ?/(1-?) - коэффициент бокового отпора;
? - коэффициент Пуассона угля;
h = m/2 - половина мощности угольного пласта, м;
x - координата рассматриваемого сечения, отсчитываемая от линии очистного забоя в глубь массива, м;
l1 - размер выработанного пространства вдоль оси Ох, не заполненного разрушенными породами, м;
? - плотность пород кровли, т/м3;
H - глубина разработки, м;
t - время, отсчитываемое от начала работы лавы, час.;
T = 5...6 час. - реологический коэффициент, характеризующий время релаксации напряжений при разрушении угля (установлен экспериментально в шахтных условиях В.Г.Гмошинским);
K = (Ky)max - 1;
(Ky)max - максимальный коэффициент концентрации напряжений по отношению к уровню ?Н впереди очистного забоя.
В работе [54] величина коэффициента (Ky)max определяется приближенно, в зависимости от соотношения модулей упругости породы и угля, по эпюрам напряжений вокруг прямоугольной одиночной выработки в весомой однородной упругой среде [96,97].
В диссертации коэффициенты концентрации напряжений устанавливаются в результате численного решения задачи геомеханики для неоднородного массива с учетом наличия в исследуемой области надработаных и подработанных пород, целиков и краевых частей сближенных угольных пластов. Созданный для этой цели алгоритм и используемые расчетные схемы описываются в последующих параграфах данного раздела.
Формула (2.1) получена исходя из наиболее общего дифференциального уравнения реологического состояния [55]
, (2.2)
где Еу - модуль упругости угля;
? - относительная линейная деформация;
- вязкость угля.
Напряжение ?t, входящее в уравнение (2.2), определяется равенством
?t = (?y - ?yp)??(t) (2.3)
Начальные упругие напряжения ?у задаются соотношением
, (2.4)
где ?ур - напряжения, в которые трансформируются напряжения ?у за счет разрыхления угля (рис.2.1).
Формула для их определения имеет вид
. (2.5)
Рис. 2.1. Кривая опорного давления впереди очистного забоя.
а - длина зоны разрушенного угля;
l1 - размер выработанного пространства вдоль оси Ох.
Напряжения ?t именуются в работе [54] горным давлением, "снима-
емым" с пласта в связи с его частичным разрушением, а функция ?(t) - функцией времени.
Формулы (2.4) и (2.5) для ?у и ?ур получаются из решения дифференциального уравнения предельного равновесия элементарного участка dx угольного пласта, отстоящего от кромки забоя на расстоянии х, при условии: х = 0, ?ур = С (на кромке пласта напряжение ?ур равно сцеплению угля).
Функция времени ?(t) находится путем следующих рассуждений.
При Т ? 0 и = 0 (хрупкое разрушение материала) уравнение реологического состояния (2.2) принимает вид
. (2.6)
Понимая под ? полную относительную деформацию, соответствующую трансформации напряжений ?у в ?ур, получим равенство
Еу ? = ?у - ?ур = ?0.
Тогда уравнение (2.6) запишется так:
. (2.7)
Общее решение дифференциального уравнения (2.7) имеет вид
.
Из начального условия t = 0, ?t = 0 следует, что произвольная постоянная С1 = ?0.
С учетом этого определяется частное решение дифференциального уравнения (2.7)
. (2.8)
Сравнивая (2.3) и (2.8), получим выражение для функции времени
. (2.9)
Изменение горного давления во времени в связи с частичным разрушением угля в зоне а (рис. 2.1) можно представить в виде
?y(t) = ?y - ?t
или с учетом выражения (2.8), в виде
. (2.10)
После подстановки в это соотношение выражений для ?y и ?yр согласно формулам (2.4) и (2.5) получается формула (2.1), которая дает весь спектр кривых (рис. 2.1) изменения горного давления во времени от вскрытия пласта (t = 0) до полной стабилизации давлений, теоретически соответствующей времени t = ?, и в любой промежуток времени 0 ? t ? ? в интервале
0 ? х ? а.
Размер а зоны разрушения (отжима) угля в работе [54] находится приближенно с учетом глубины разработки, мощности угольного пласта и его физико-механических характеристик f, C и ? с использованием коэффициента концентрации по А.Н.Диннику и Г.Н.Савину. В диссертации а - это расстояние, которое измеряется вглубь массива от линии очистного забоя до максимума опорного давления и определяется в результате решения плоской задачи геомеханики для свиты сближенных угольных пластов с учетом надработки и подработки.
Подставляя в уравнение (2.8) вместо ?y и ?yр выражения (2.4) и (2.5), будем иметь:
. (2.11)
Чтобы получить формулу для определения величины давления P(t), которое "снимается" с пласта вследствие частичной потери углем несущей способности и является функцией времени, проинтегрируем соотношение (2.11) по переменной х в пределах от 0 до а:
. (2.12)
Как показали шахтные наблюдения, большая часть давления P(t) (около 97%) воспринимается угольным целиком и породным массивом [107] и только q(t) = 0,03P(t) пе