РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕМНОГО НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОНИЧЕСКИХ КОЛЕС С КРУГОВОЙ
ФОРМОЙ ЗУБЬЕВ
2.1. Построение приближенного решения по методу Ритца.
Одной из важных проблем повышения надежности и долговечности конических зубчатых передач при улучшении качества их эксплуатационных показателей и снижения металлоемкости является развитие и совершенствование имеющихся методов расчета НДС зубчатых зацеплений при более полном отражении условий работы, геометрии зубьев и зубчатых колес в целом, а также разработки новых методов.
При зацеплении пары зубьев конических колес имеют место силовые взаимодействия, деформирующие как зуб, так и венец зубчатого конического колеса. Возникающие при этом изгибные напряжения у корня зуба в значительной мере зависят от радиальных размеров конического колеса, от толщины зубчатого венца и соединительного диска. Существующие методики исследования изгибных напряжений [27, 173] основаны на ряде грубых допущений:
- зуб аппроксимируется упругим гребнем трапециидального сечения;
- галтель у корня зуба, а также влияние угла наклона, конусность зуба
и конструкция зубчатого колеса учитываются весьма приближенно.
Более точный учет этих параметров сопряжен с большими трудностями, прежде всего с установлением краевых условий при использовании вариационных методов классической теории упругости, что, в свою очередь, обусловлено геометрией рассматриваемых конических зубчатых колес. Поскольку конические зубчатые колеса в условиях эксплуатации находятся в объемном напряженном состоянии, то и соответствующее решение необходимо строить в трехмерной постановке, являющейся одной из сложнейших проблем и, наряду с этим, одной из актуальных задач в практическом отношении.
Современное состояние науки не дает возможности создать общие методы расчета, учитывающие все особенности строения реальных тел. Поэтому классическая теория упругости все свои выводы строит на некоторой модели деформируемого тела [15,18,88,159], наделенной некоторыми свойствами. Такой моделью является идеально упругое тело. Это допущение исключает из рассмотрения начальные напряжения, характер и величины которых, как правило, не известны и зависят от истории возникновения реального тела.
При идеальной упругости предполагается линейная зависимость между нагрузкой тела и его перемещением, что позволяет установить однозначную зависимость между напряжением и деформацией. Идеально упругое тело предполагается сплошным, это дает возможность рассматривать деформации и перемещение точек тела как непрерывные функции координат. Идеально упругое тело предполагается однородным и изотропным, это позволяет считать величины, характеризующие упругие свойства тела, постоянными по всему объему. В классической теории упругости принимается, что перемещения тела малы по сравнению с его линейными размерами, а относительные удлинения и углы сдвига малы по сравнению с единицей. Малость приращений и линейная зависимость между напряжениями и деформациями позволяют применить принцип независимости действия сил. Применяемость таких допущений для разрабатываемой математической модели НДС конических колес с круговыми зубьями подтверждают многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, а также опыт эксплуатации [23,35,44,48,50,52,71,78,80,100,112,149,176]. Следующая группа допущений относится к технологии изготовления зубчатых колес. Как известно [7,112,113,124,140,167,171], и механическая, и химико-термическая обработка зубьев в определенной мере влияет на механические характеристики материала, из которого они изготовлены. Кроме этого, в связи с принятыми выше допущениями, термообработка и др. не принимаются во внимание, т. к. они влияют на допускаемые напряжения, а не на НДС.
Далее предположим, что упругая область и граничная поверхность конического зубчатого колеса с круговыми зубьями представлена в неявном виде как непрерывная функция непрерывного аргумента:
, (2.1)
в состав которой входят отдельные участки всей области D, заданные своими уравнениями:
(2.2)
где - уравнение поверхности жесткой заделки зубчатого колеса,
- поверхность пятна контакта,
- поверхность всей упругой области без заделки и пятна контакта, - поверхность всей упругой области без заделки.
нормированы на границе и удовлетворяющие следующим условиям:
в ,
, (2.3)
Такие уравнения для сложных областей легко могут быть построены с использованием R-функций [133] в виде суперпозиции опорных областей, представляющих собой отдельные участки зуба и зубчатого колеса, описываемые элементарными функциями.
В реальных условиях под действием внешней нагрузки коническое колесо совершает упругие перемещения относительно вала и вместе с ним. Однако эти перемещения достаточно малы и на решение поставленной задачи практически не влияют. Поскольку основной интерес представляет анализ НДС кругового зуба и области, прилегающей к нему, то целесообразно коническое колесо жестко заделать по поверхности под вал радиуса R . Возможна и другая жесткая заделка (например, по 1 рис. 2.1.), позволяющая учесть влияние конструкции зубчатого венца. Такое допущение обусловлено принципом локальности эффекта самоуравновешенных нагрузок или принципом Сен-Венана, а также позволяет принять его в качестве первого краевого условия.
На основе анализа литературных данных [46,51,101,144,173], усилие, действующее на зуб, в процессе сопряжения, распределено по поверхности зацепления . Остальная поверхность рассматриваемой области D свободна от нормальных напряжений. Из-за погрешностей изготовления и монтажа, пятно контакта может менять свою конфигурацию и местоположение на