РАЗДЕЛ 2
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СИГНАЛОВ С
КОМПАКТНЫМ СПЕКТРОМ, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ
ПЕРВОМУ КРИТЕРИЮ НАЙКВИСТА
2.1. Аппроксимация спектральных характеристик
селективных сигналов
Существует достаточное количество классов импульсных сигналов, удовлетворяющих первому критерию Найквиста, т. е. селективных сигналов [42, 64, 82, 85]. Для обоснованного выбора подходящего селективного сигнала при решении задач оптимизации параметров систем передачи информации необходимо располагать соответствующей методикой сравнения подобных сигналов. Первым этапом разработки такой методики может стать выбор объективных показателей, по которым целесообразно сравнивать сигналы.
Широкое применение в ЦСП получили однопараметрические сигналы, удовлетворяющие первому критерию Найквиста, условия (1.1), (1.2). Спектр таких сигналов в области среза аппроксимируется прямой линией либо "приподнятым" косинусом. Однопараметрические сигналы, где в качестве единственного параметра используется коэффициент скругления ?, не обладают способностью к гибкому изменению своей формы либо конфигурации спектральной плотности при изменении этого параметра в допустимых пределах.
В теории сигналов важную роль играют различные приближенные представления и аппроксимации, позволяющие упрощать анализ и синтез, а также практическую реализацию сигналов.
Рассмотрим различные способы аппроксимации селективных сигналов в переходной области их спектров. Предлагаются сигнальные функции, у которых S(?) в переходной области описывается набором определенным образом подобранных гладких функций, что позволяет получить селективные сигналы с быстро затухающими осцилляциями.
Спектральная плотность известных и синтезируемых сигналов изображена на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Спектральная плотность семейства селективных сигналов
Частотный интервал (?A, ?B) будем называть переходной областью спектральной плотности сигнальной функции. Частота ?C соответствует середине области, а точка C является центром симметрии для кривой спектральной плотности в этой области. Частота ?N является тактовой частотой следования импульсов или частотой Найквиста.
В общем виде, аналитическую запись амплитудного спектра любого из селективных сигналов, представленных на рис. 2.1, можно записать в виде
(2.1)
где описывает функцию в переходной области, не выходящей за границы интервала .
Запишем модуль спектральной плотности селективного сигнала в переходной области рис. 1.3 следующим образом
Тогда условие (1.2) может быть переписано в виде двух равенств
Представим функцию в виде ряда
при условии, что и , где - вещественные коэффициенты (параметры); - система базисных или элементарных функций [15], выбираемых в соответствии с конкретной задачей. Элементарные функции , число которых может быть конечным, не обязательно должны быть ортогональными, хотя такое условие в ряде случаев может оказаться желательным.
Подобный подход использовался в ряде исследований разложении некоторого сложного сигнала по более простым функциям, что позволяло, во-первых, наглядно представить структуру сигнала и, во-вторых, использовать такое разложение как основу при создании аппаратуры формирования и обработки сложных сигналов [85].
Аналитическая запись селективного сигнала s(t) может быть получена при помощи обратного преобразования Фурье спектральной плотности с учетом (1.2)
Подставляя в данное выражение спектральную плотность , записанную в виде ряда, приходим к окончательному выражению
(2.2)
где и
Выражение (2.2) является общей формой записи для различных классов селективных сигналов с финитным спектром.
Во временной области будем представлять все полученные сигналы в виде
(2.3)
где U величина амплитуды сигнала, M(t, ?) мультипликативная функция, отражающая форму спектральной плотности в переходной области спектра (? определяется выражением (1.9)). Согласно теореме, приведенной в [84], M(t) определяется соотношением
(2.4)
где .
Функция M(t) определяется функцией в соотношении (2.4) [84]. Здесь возможны два случая.
1. Если А1(0) = 0,5UT и А1(??) = 0, то f(t) = - 0,5UT и выражение (2.4) принимает вид
(2.5)
2. Если А1(0) = 0,5UT и А1(??) ? 0, то в точке В, т. е. при ? = ?? функция А1(?) имеет разрыв первого рода, поскольку А1(??-0)=kUT, 0?k?1, a А1(??+0) = 0. Устраняя разрыв известным способом, получаем
f(t) = -0,5UT[1-2kcos??t], после чего мультипликативная функция будет выглядеть следующим образом
(2.6)
Мультипликативная функция М(t) определена на всей оси времени, но, вообще говоря, не принадлежит к пространству L2(-?, ?). В самом деле, для селективного сигнала с прямоугольным спектром M(t) = 1, а для сигнала со спектром в виде "ступеньки" непосредственно из (1.12) получаем M(t) = cos ??Ct.
Следует особо подчеркнуть, что условия селективности (1.1) и (1.2) оставляют открытым вопрос о том, является ли спектр сигнала финитным или нет. Другими словами, оба условия в одинаковой степени применимы в обоих случаях. Теорема, предложенная в работе [84], позволяет объединить свойство селективности сигнала g(t) с финитностью его спектра. За селективность несет ответственность функция U sinc(?Ct), а финитным спектр сигнала g(t) будет лишь тогда, когда мультипликативная функция М(t) принадлежит к классу целых аналитических функций конечной степени. Из сказанного следует, что интегральное представление (2.4) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы селективный сигнал имел финитный спектр.
Запишем выражения для спектральной плотности каждого из сигналов, представленных на рис. 2.1.
Сигнал 1 [90*], рассматривается впервые. Выполним аппроксимацию спектральной плотности в переходной области некоторой суперпозицией отрезков параболы с ра