РАЗДЕЛ 2
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ КРИВЫЕ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ В ПЛАНЕ
Вводится понятие обобщенной переходной кривой железнодорожного пути как степенной бесконечный ряд (кривизна кривой представляется в виде степенного ряда). Описывается процедура определения коэффициентов такого ряда. Проанализированы геометрические и динамические условия, накладываемые на железнодорожный экипаж и переходную кривую. Рассматриваются задачи построения переходных кривых железнодорожного пути с прямой на окружность с выполнением требований, касаемых углового ускорения, и построения плана кривых между двумя железнодорожными путями, расположенных под углом, с выполнением требований, налагаемых на угловое ускорение, и без таковых.
2.1. Инженерная постановка задачи
При движении по прямолинейному участку пути наблюдаются виляния по различным причинам, но при переходе в криволинейные участки пути возникают усилия, которые по своим значениям значительно превосходят усилия, обусловленые виляниями на прямолинейном участке пути.
Если прямолинейный участок переходит в круговую кривую радиуса , то, как только экипаж входит в неё, возникают центробежные силы, пропорциональные , где - скорость движения экипажа. Поэтому для предотвращения появления удара между прямолинейным и круговым участком пути встраивают переходную кривую. Основным требованием к переходной кривой является то, чтобы в точке, где она начинается, её кривизна была бы равна нулю, а в точке, где она переходит в круговую кривую, её кривизна должна быть равна .
При вписывании экипажа в кривую происходит его поворот, что приводит к появлению угловых ускорений. Можно считать, что скорость экипажа на участке переходной кривой постоянна, поэтому угловое ускорение будет пропорционально скорости изменения кривизны переходной кривой. Появление скачкообразного углового ускорения в начале переходной кривой и исчезновение в конце переходной кривой весьма нежелательно, что приводит к требованию равенства нулю производной от кривизны переходной кривой в начале и в конце.
Пусть - длина пути, отсчитываемая от точки начала переходной кривой, а - кривизна переходной кривой, тогда требования к переходной кривой можно записать в следующем виде
; ; , (2.1)
где - длина переходной кривой.
Очевидно, что с усилиями, обусловленными угловым ускорением бороться невозможно, поэтому приходиться предъявлять к переходным кривым ещё одно требование - необходимо, чтобы эти усилия не превосходили бы наперёд заданной величины. Это требование можно записать таким образом
. (2.2)
Определение 2.1. Кривую , имеющую непрерывную монотонно изменяющуюся кривизну и непрерывную производную, обладающую свойствами (2.1), (2.2), будем называть переходной кривой железнодорожного пути c прямой на окружность.
Естественно возникает вопрос о существования кривой со свойствами (2.1), (2.2). Для ответа на этот вопрос рассмотрим два примера и покажем, что множество кривых с указанными свойствами не пусто.
Пример 2.1. Пусть
а в качестве возьмём функцию вида (кривая типа кривой проф. Г.М.Шахунянца [12])
. (2.3)
Выполнив интегрирование, получим
Постоянные и определим из условий (2.1) и (2.2)
Откуда
; ,
а так как
то, принимая в (2.2) равенство, получим
.
Следовательно, длина переходной кривой будет равна
(2.4)
Пример 2.2. Возьмём в качестве функцию вида
Кривизна в этом случае будет равна
Из условий (2.1) получим
Максимальное значение функции принимает при и тогда из условия (2.2) имеем
или
.
Взяв равенство, для длины переходной кривой получим
. (2.5)
Сравнивая (2.4) и (2.5) приходим к выводу, что длина переходной кривой в примере 2.2 меньше на величину .
Выбирая в качестве критерия оптимальности длину переходной кривой, приходим к следующей задаче: необходимо определить такую переходную кривую, чтобы длина её была минимальна и она удовлетворяла основным геометрическим и динамическим требованиям.
Для того, чтобы этой задаче придать универсальный характер с целью охватить наиболее широкий класс задач, перейдём к безразмерным величинам, положив
; ; , (2.5')
тогда условие (2.1) и (2.2) принимают вид
; ; ; , (2.5'')
где - безразмерная длина переходной кривой.
2.2. Обобщённые переходные кривые
Определение 2.2. Обобщённой переходной кривой назовём кривую, кривизна которой представима в виде бесконечного степенного ряда и удовлетворяет требованиям (2.5").
Построим переходную кривую, представленную производной кривизны в виде
, (2.6)
где - постоянные величины, а - безразмерная длина переходной кривой.
Условия равенства нулю производной в начале и в конце переходной кривой будут выполнены автоматически.
Используя формулу бинома Ньютона, соотношение (2.6) запишется так
Проинтегрировав это выражение и, использовав условие , получим
Положив , из требований (2.5'') приходим к соотношению
, (2.7)
где
.
Последнее требование условий (2.5'') для нашего случая перепишется так
. (2.8)
Если в соотношении (2.6) ограничиться только одним членом разложения, то приходим к примеру (2.2).
В принятых обозначениях получим
В качестве неизвестных выступают и . Из первого уравнения определяем
и подставляем во второе
откуда
или
А так как нам необходимо построить переходную кривую с как можно меньшей длиной, то оптимальную длину переходной кривой получим равную
. (2.9)
Очевидно, что ограничиваясь в представлении (2.6) двумя членами разложения, мы можем подобрать коэффициенты и так, чтобы были выполнены условия (2.7) и (2.8), а длина переходной