РАЗДЕЛ 2
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
2.1. Весовые пространства Гельдера и их свойства
Вначале дадим определения функциональных пространств, которые будут использоваться в работе. Пусть заданная область в с угловой точкой в начале координат, . Обозначим через расстояние от начала координат до точки и положим Введем следующие весовые полунормы:
(2.1)
(2.2)
где некоторое заданное число.
Будем говорить, что функция , если конечна следующая норма:
(2.3)
здесь в правой части равенства (2.3) стоят полунормы, определенные в (2.1) и (2.2).
Если область не содержит угловой точки, то определение пространств сохраняется, если только в соотношениях (2.1)-(2.3) положить
Отметим, что случай, когда угловая точка О области не совпадает с началом координат, может быть сведен к рассмотренному выше с помощью невырожденного линейного преобразования. Поэтому в дальнейшем в работе будем считать, что угловая точка области совпадает с началом координат.
Пусть заданный угол из промежутка
Введем в плоском угле систему координат такую, что где - полярная система координат на плоскости Тогда при заданном преобразовании образом будет полоса , а образом границы будет .
Отметим, что в случае, когда область является бесконечным углом с вершиной в начале координат, можно дать эквивалентное определение этих пространств, используя обычные классы Гельдера [92] и класс функций со следующей нормой:
(2.4)
где - постоянные Гельдера относительно переменных и , соответственно, а - полунорма, введенная в работе [93], которая отличается от полунормы из (2.2) отсутствием веса:
(2.5)
Определение 2.1. Будем говорить, что (соответственно ), если (соответственно ).
Такое определение пространств оказывается удобным при изучении краевой задачи для уравнения Пуассона в плоском угле, которая будет рассмотрена в разделе 3.
В случае углов определение типа (2.1) будет также иметь место.
Приведем некоторые свойства введенных весовых пространств, которые будут необходимы в дальнейшем при доказательстве основных результатов данной работы.
Непосредственно из определений пространств и следует.
Предложение 2.1. Пусть ограниченная область в , , целое неотрицательное, тогда:
(i) если граница области то существуют такие положительные постоянные что выполняется неравенство
(2.6)
(ii) если же и тогда существует положительные постоянные такие, что справедливы неравенства
(2.7)
где и
Замечание 2.1. Утверждения предложения 2.1 остаются справедливыми для финитных функций в случае неограниченной области .
Предложение 2.2. Пусть ограниченная область в , , целое неотрицательное.
1) Пусть и , тогда
(2.8)
2) Пусть и , тогда
(2.9)
здесь положительные постоянные.
Доказательство. Покажем справедливость неравенства (2.8) в случае Из определения норм в пространстве (см. (2.3)) имеем
(2.10)
Применяя к правой части равенства (2.10) следующие очевидные неравенства:
(2.11)
получим требуемую оценку (2.8). Рассмотрим случай имеем
Применим к правой части данного неравенства оценку (2.8) при получим
При получении этого неравенства использовалось соотношение
(2.12)
которое справедливо в случае ограниченной области.
Доказательство неравенства (2.8) при проходит по той же схеме, что и в случае при этом используется неравенства (2.8), (2.12) и формула Лейбница для ой производной от произведения двух функций.
Наконец, отметим, что справедливость оценок (2.9) следует из неравенств (2.8) и результатов предложения 2.1.
Замечание 2.2. Утверждения предложения 2.2 остаются справедливыми и в случае неограниченной области , если функции - финитны.
Предложение 2.3. Пусть функции и определены в ограниченной области , , и тогда и справедливы неравенства:
, (2.13)
где положительные постоянные, .
Доказательство. Поскольку и , то имеют место следующие неравенства:
Из этих неравенств непосредственно следуют оценки (2.13).
Предложение 2.4. Пусть - не обязательно ограниченная область, , , и для заданных на функций и справедливы представления:
(2.14)
где , тогда имеют место неравенства
(2.15)
где положительная постоянная, а величины и зависят от норм функций
(2.16)
(2.17)
Доказательство оценок (2.15) основывается на результатах предложений 2.1 и 2.2 и неравенствах вида:
Заметим, что аналогичные неравенства имеют место и для функций
Теперь сформулируем ряд утверждений для функций из класса , которые будут необходимы в разделе 4 при исследовании линейной краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка с переменными коэффициентами в области с угловой точкой. Отметим, что аналогичные утверждения для функций из класса Гельдера приведены в монографии [19. гл.4, §4], и здесь при доказательстве следующих четырех лемм мы будем использовать методы этой работы.
Множество функций из класса , удовлетворяющих нулевому начальному условию: , назовем пространством
Для функций из этого пространства справедливы следующие утверждения.
Лемма 2.1. Пусть если и существует такая положительная постоянная , что имеет место неравенство
(2.18)
тогда справедливы оценки:
при (2.19)
где - положительные постоянные.
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что, поскольку , то д