Раздел 2
Основные уравнения статики пологих
трансверсально-изотропных оболочек
2.1. Геометрические соотношения
Рассматривается напряженно-деформированное состояние тонкой упругой оболочки
вращения, срединная поверхность которой имеет бочкообразную форму (рис. 2.1).
Оболочка нагружена вдоль торцевых окружностей осевыми р1, р2 и касательными t1,
t2 напряжениями. Кроме торцевых окружностей срединная поверхность ограничена
круговым вырезом L0 с центром в некоторой точке О срединной поверхности. Радиус
r0 выреза предполагается малым по сравнению с расстоянием точки О до оси
оболочки.
Рис.2.1. Срединная поверхность тонкой упругой оболочки вращения.
Напряженно-деформированное состояние оболочки с вырезом представляется [32]
суммой так называемого основного состояния и возмущения, вносимого отверстием.
Основное состояние является решением задачи статики для такой же оболочки, но
без выреза. Известно, что возмущение, вносимое круговым вырезом, имеет
локальный характер и существенно только на расстоянии 3r0 от границы L0 выреза.
Поэтому при анализе возмущенного состояния ограничимся пологой частью оболочки,
отсекаемой плоскостью П параллельной касательной плоскости, проведенной в
центре О выреза. Полагаем, что граница L1 пологой части оболочки удалена от
точки О на расстояние не менее 4r0, и находится в условиях основного
напряженно-деформированного состояния.
С точкой О связывается прямоугольная декартовая система координат (рис. 2.1.),
ось ОZ которой направлена вдоль нормали к срединной поверхности в точке О.
Полагаем, что в малой окрестности выреза L0 срединную поверхность пологой части
оболочки можно приближенно представить уравнением параболоида:
. (2.1)
Здесь e, R0 — вещественные параметры; x, y — криволинейные координаты на
поверхности параболоида (рис. 2.2.) с направляющими единичными векторами .
Касательные к криволинейным координатным линиям векторы вычисляются [32] из
уравнений (2.1):
. (2.2)
Поскольку скалярное произведение касательных векторов имеет вид
, (2.3)
Рис.2.2. Криволинейные координаты на поверхности параболоида.
то предполагая, что в малой окрестности границы L0 выреза выполняются
неравенства:
(2.4)
можно считать, что скалярное произведение (2.3) приближенно равняется нулю, и
криволинейные координаты х, у приближенно являются ортогональными. Еще из
зависимостей (2.2), (2.4) следуют выражения коэффициентов Ламе
(2.5)
Полагая приближенно А1 = А2 = 1, получаем упрощенное выражение для единичного
вектора нормали к срединной поверхности
(2.6)
и приближенные значения главных кривизн параболоида
. (2.7)
Оказалось, что для параболоида (2.1) координатные линии x, у приближенно
совпадают с линиями главных кривизн, и главные нормальные кривизны k1, k2
приближенно не зависят от координат x, у. Кроме того, из зависимостей (2.7)
следует геометрический смысл параметров e, R0
. (2.8)
Параметр e характеризует отличие формы параболоида от пологой сферической
поверхности (если k1 = k2, то e = 0). В случае пологой цилиндрической
поверхности (k1 = 0) получается e = 1. Если 0 Ј e < 1, то параболоид является
пологой оболочкой положительной гауссовой кривизны.
Геометрический смысл параметра R0 следует из второго уравнения (2.8) как
величина обратная к средней кривизне параболоида.
Для формулирования граничных условий на краю выреза удобными оказываются
полугеодезические криволинейные координаты r, q, показанные на рис.2.3.
В полугеодезических координатах уравнение края выреза имеет вид r = r0, а
уравнение параболоида получается из (2.1) подстановкой x = rcosq, y = rsinq:
. (2.9)
Рис.2.3. Полугеодезические криволинейные координаты.
При этом коэффициенты Ламе Ar, Aq, нормальные кривизны kr, kq и кручение
параболоида krq в предположении выполнения неравенств (2.4) принимает вид
. (2.10)
В оболочках постоянной толщины h наиболее удобной является система
криволинейных координат , в которой a1 — линии и a2 — линии на серединной
поверхности совпадают с линиями кривизны, а g — линии совпадают с отрезками
прямых перпендикулярных к серединной поверхности. При этом радиус-вектор
произвольной точки Р оболочки выражается через радиус-вектор некоторой точки M
серединной поверхности и единичный вектор нормали к серединной поверхности в
точке М:
. (2.11)
Такая криволинейная система координат оказывается [76] ортогональной в каждой
точке Р оболочки. Более того a1 — линии и a2 — линии являются линиями кривизны
на каждой поверхности g = const; a2 — линии и g — линии являются линиями
кривизны на каждой поверхности a1 = const; g — линии и a1 — линии являются
линиями кривизны на поверхностях a2 = const. При этом единичные векторы не
изменяются вдоль g — линий
, (2.12)
коэффициенты Ламе являются линейными функциями g :
, (2.13)
нормальные и геодезические кривизны на поверхностях g = const связаны с
нормальными k1, k2 и геодезическими кривизнами на серединной поверхности g = 0
зависимостями
. (2.14)
Если оболочка нагружена внешними силами (рис. 1), то радиус-вектор произвольной
точки P оболочки изменится на вектор перемещений , который представляется
компонентами по ортам
. (2.15)
Деформированное состояние оболочки, кроме вектора перемещений, характеризуется
компонентами вектора малого поворота [76]:
(2.16)
и компонентами линейного тензора деформаций [76]:
; (2.17)
,
. (2.18)
2.2. Геометрические гипотезы для тонких оболочек
Классическая теория тонких оболочек основана на применении геометрической
гипотезы Кирхгофа-Лява [1, 21, 49, 76]:
а) материальные точки, образующие до приложения внешних сил отрезок нормали к
серединной поверхности оболочки, после нагружения оболочки образуют отрезок
нормали
- Київ+380960830922