РАЗДЕЛ 2
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБЬЕКТАМИ ОБЩЕГО ВИДА
В этом разделе рассматриваются вопросы синтеза оптимальных регуляторов для систем управления линейными конечномерными объектами общего вида при квадратичных критериях качества, отсутствии и наличии помех, известных и неизвестных переменных состояния.
Приводятся общая характеристика объекта управления, общий подход формализованного решения задач оптимального управления, постановки задач оптимального управления состоянием и выходом непрерывных и дискретных объектов общего вида при квадратичных критериях качества, известных и неизвестных переменных состояния, отсутствии и наличии помех и синтез оптимальных регуляторов для решения упомянутых задач.
2.1. Общая характеристика объектов управления
В качестве объектов управления рассматриваются объекты форсирующего характера, для которых порядки левой и правых частей их дифференциальных уравнений совпадают:
, (2.1)
где входная и выходная величины объекта управления соответственно, - коэффициенты дифференциального уравнения, оператор дифференцирования, время.
Векторно-матричные модели подобных объектов имеют вид:
, (2.2)
(2.3)
где , , - соответственно вектора переменных состояния, управления и выходной величины, - матрицы состояния, управления, выхода и обхода размерностей соответственно. Для этих объектов матрица обхода
Дискретный вариант объектов (2.2-2.3) имеет вид:
, (2.4)
(2.5)
где дискретное время, - решетчатые функции переменных состояния, управления и выхода соответственно.
Объекты (2.2-2.3) и (2.4-2.5) в работе названы объектами общего вида. К моделям общего вида приходим также в случае, когда объекты с чистым запаздыванием приближенно моделируются укороченным разложением Пада
, (2.6)
где - переменная Лапласа, - коэффициенты разложения, - порядок модели.
При наличии помех на входе и на выходе объектов управления модели (2.2-2.3) и (2.4-2.5) принимают вид:
, (2.7)
(2.8)
, (2.9)
(2.10)
В конце подраздела отметим, что объекты общего вида не нуждаются в исследовании на управляемость, так как они управляемы всегда. Это обусловлено тем, что в уравнениях состояния всех координат, полученных методом нормальных переменных, входит управление.
2.2. Общий подход аналитического решения задач
оптимального управления
Аналитический подход решения задач оптимального управления связан с их формализацией и синтезом регуляторов. Этап формализации включает в себе формализацию критериев качества и ограничений.
В большинстве случаев наиболее трудным из указанных этапов является первый. Это обусловлено тем, что, как правило, содержательные требования Потребителя результатов синтеза оптимальных систем управления, являются многокомпонентными. Формализация подобных требований при помощи конструктивных математических структур в общем случае или трудно или невозможно вообще.
К используемым моделям для формализации различных задач выдвигаются требования адекватности и конструктивности. Под адекватными здесь понимается модели, которые с требуемой степенью точности отражают интересующие реальные свойства моделируемого объекта. Под конструктив-ными понимаются модели, позволяющие в рамках выбранного метода и аппарата получить удовлетворительные, в том числе и оптимальные результаты решения предметных задач.
Природа построена таким образом, что, как правило, требования адекватности и конструктивности являются противоречивыми. Так, увеличение степени адекватности моделей связано с их усложнением, а это неизбежно приводит к ухудшению их конструктивности. Во многих случаях, а именно, в многомерных, применение сложных моделей, обладающих достаточной конструктивностью, может привести к худшим результатам, чем более простых. Это имеет место из-за их худшей параметрической определенности и большей помехочувствительности по отношению к простым моделям. Такие случаи относятся к известному понятию "проклятие многомерности".
Наиболее конструктивными структурами для формализации критериев оптимальности являются квадратичные формы. Такие критерии сравнительно легко вычисляются и оптимизируются по интересующим параметрам. Этим обусловлено их применение для решения широкого спектра предметных задач таких, например, как задач идентификации, управления, исследования качества, прогноза и др. При чем это имеет место, несмотря на то, что иногда они обладают худшей адекватностью, чем, например, критерии, сформированные на основе риска вида "модуль ошибки".
Применение квадратичных форм в случае многомерности содержательных требований к качеству управления приводит, как правило, к необходимости их параметрической оптимизации для согласования локальных требований в общем критерии качества управления. Это может быть осуществлено аналитически или итеративно. В первом случае решение задачи управления заканчивается оптимизацией полученного решения по весовым коэффициентам аддитивных составляющих критерия оптимальности. Последний вариант может быть успешно выполнен методом моделирования путем решения задачи управления при различных значениях весовых коэффициентов составляющих аддитивных квадратичных форм.
К моделям ограничений [58, 62, 63, 64], в частности объекта управления, выдвигаются обычные требования, выполнение которых в случаях простых объектов не встречает особой трудности. Однако при сложных объектах может возникать необходимость их итерационного выбора для обеспечения требуемой адекватности и простоты физической реализации синтезируемых регуляторов.
С существенными трудностями можем встречаться при формализации остальной части ограничений, когда последние включат совместные интегральные ограничения к управлению и переменным состояния.
В данной работе в качестве критерия оптимальности управления выбрана широко применяемая аддитивная интегральная квадратичная форма
(2.11)
где - матрицы критерия, учитывающ