РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ С УЧЕТОМ ВНУТРЕННЕГО И ВНЕШНЕГО ТРЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД
2.1. Общие методические положения по применению метода линий скольжения для расчета напряжений
Метод линий скольжения позволяет с использованием известных граничных условий на контактной поверхности получить условие состояния материала, связывающее поперечные напряжения ?х с известными характеристиками материала f и ? - коэффициентами соответственно внешнего (контактного) и внутреннего трения на площадке линии скольжения.
Теория линий скольжения широко применяется в теории прочности для расчета параметров деформирования пластичных материалов (31-34(. Еще в прошлом веке В. Людерс и Д.К. Чернов обратили внимание на естественный рисунок, возникающий на поверхности пластичного деформируемого металла. Позже было установлено, что эти естественные рисунки совпадают с траекториями максимальных касательных напряжений.
Совместим разработки по механике горных пород, учитывающие внутреннее трение, и теорию пластичности, в которой имеются решения, учитывающие контактное трение, но не принимающую в расчет внутреннее трение материалов. Прежде всего, еще раз оговоримся, что в задачу предстоящих исследований входит процесс деформирования и разрушения образцов горных пород по законам предельного состояния, когда эффективное касательное напряжение в вершине трещины равно сопротивляемости материала чистому сдвигу. Деформирование и разрушение рассматривается как два последовательных цикла одного процесса. За упругим состоянием следует процесс разрушения. Здесь следует отметить, что в литературе имеется двузначное понимание процесса разрушения. Одни исследователи высказывают мнение, что разрушение есть продолжение процесса деформирования (3(, другие-эти процессы не связывают между собой, полагая, что деформирование является одним из возможных, но не обязательных способов активизации разрушения (57, 58(. Мы придерживаемся первой точки зрения (59, 60(?. Базовой основой этих рассуждений [61-69(* является теория пластичности (31-34(, которая постулирует сдвиговую концепцию деформирования и разрушения. Надо сказать, что по нашим представлениям, критерий эффективных касательных напряжений, учитывающий внешнее трение, не теряет свое значение и в вершине трещины в процессе ее развития при разрушении тела (разделении элемента на части).
Внешнее сжатие порождает сдвиг, внешний сдвиг - растяжение-сжатие. Модель механического поля напряжений, включающая в себя в качестве силовых линий траектории главных нормальных и главных касательных напряжений, является необходимой и достаточной для анализа напряженно-деформированного состояния материала. Эта модель предусматривает наибольший массоперенос по траекториям эффективных максимальных сдвигающих напряжений. Надо сказать, что специалисты в теории пластичности считают, что макромеханизм развития сдвиговой деформации по траекториям максимальных касательных напряжений характерен для любых сред: твердых, жидких и газообразных.
В целом скажем, на наш взгляд, что в процессе деформирования пластичных и хрупких материалов лежит единый последовательный процесс, основанный на критерии эффективных касательных напряжений, который, в конечном итоге, ведет к механическому разрушению. Теоретическую основу этого подхода составляет теория линий скольжения, базирующаяся на применении макромеханизма развития сдвига по траекториям эффективных максимальных сдвигающих напряжений.
Линия скольжения - это линия, в каждой своей точке касающаяся площадки максимального касательного напряжения. В общей теории пластичности используется также максимальное касательное напряжение без учета внутреннего трения. В нашем случае имеется ввиду эффективное максимальное касательное напряжение, которое определяется с учетом фрикционного воздействия внешнего (контактного) и внутреннего трения. Это воздействие определяет и форму линий скольжения. В отличие от общей теории пластичности при наличии внутреннего [52] трения или внешнего трения [32] нарушается ортогональность семейств линий скольжения.
Известно, что в процессе деформирования образуется два семейства линий скольжения, характеризуемые уравнениями [31]:
Х=Х(?? , ?), У=У(?? , ?), (2.1)
где ??, ? - некоторые параметры. Линии первого семейства (? -линии) соответствуют фиксированным значениям параметра ? (? =const), вдоль ? -линии постоянен параметр ?. Условимся фиксировать направление линий ? углом ? наклона касательной к ней относительно оси Х (рис.2.1). Тогда дифференциальные уравнения семейств ? и ? соответственно будут
. (2.2)
Линии скольжения покрывают деформируемую область сеткой. Следует подчеркнуть, что при деформировании горных пород ортогональность линий скольжения нарушается из-за наличия фрикционного влияния внешнего и внутреннего трения. Следовательно, сетка линий скольжения в деформируемой горной породе будет иметь изогональный характер (рис.2.2) аналогично сыпучей среде (52(. Как известно, линии скольжения обладают рядом замечательных свойств, изученных Генки [31]. Прежде чем перейти к решению конкретных задач, важно предварительно рассмотреть особенности свойств линий скольжения, порождаемые фрикционными параметрами горных пород:
1. В теории пластичности принято (31(, что вдоль линии скольжения давление изменяется пропорционально углу линии скольжения с осью Х: вдоль линии ? , вдоль ? -линии . Для горной породы при сжатии
это свойство будет иметь вид:
вдоль линии ? : ,
вдоль линии ? : , (2.3)
где ?? - нормальное напряжение на линии скольжения.
2. Если переходить от одной линии скольжения семейства ? к другой вдоль любой линии скольжения семейства ?, то угол ? и давления ? по общей теории пластичности будут изменятся на одну и ту же величину (первая теорема Генки):
в нашем случае
, (2.4)
, (2.5)
где ? и ? - параметры линий скольжения.
По теории пластичности угол между линиями скольжения равен ??2. В