Раздел II посвящен, в основном, исследованию спектральной структуры операторов
K вида (3) или (8). Здесь доказан ряд теорем о полноте и безусловной базисности
семейств собственных векторов таких операторов. На этих результатах
основываются критерии безусловной базисности семейств функций, построенных по
системе весов Макенхаупта.
Из формул (5) и (8) вытекает, что
s (K ) = {0}U{zk} , zk =
Здесь множество L = {lk} совпадает с множеством корней уравнения
Д (z) = 0, Д (z) : = det F (z) , (12)
где матрица-функция определяется либо формулой (4) , либо формулой (9). Будем
говорить, что спектр оператора K прост, eсли уравнение (12) имеет только
простые корни. Имеет место
Теорема 2.1. Пусть спектр оператора K вида (3) прост и удовлетворяет условию
Пусть также вес Wb(х) при каком-нибудь b < min {0, w} удовлетворяет матричному
условию Макенхаупта (А). Тогда системы собственных функций операторов K и K*
(каждая в отдельности) полны в пространстве L2 ( [0, a], Вn) в том и только в
том случае, когда
hД = пa, hД = 0 , Д (z) := det F(z)
Аналогичный результат справедлив и для операторов K в пространстве L2 (0, a).
Теорема 2.2. Пусть K – оператор вида (8) имеет простой спектр и выполнено
условие
Пусть также вес Vb (х) при некотором b < min {0, w} удовлетворяет матричному
условию (А). Тогда системы собственных функций операторов К и К* (каждая в
отдельности) полны в пространстве L2 (0, a) в том и только в том случае, когда
выполняются требования:
1) hД = a, hД = 0 ; 2) элементы матрицы
w (z)F-1(z)(z - i)-1 , w (z):= diag {w(z)}
принадлежат классу Харди Н2 в области Im z < b.
Отметим, что доказательство обеих теорем основано на ряде лемм, некоторые из
которых представляют самостоятельный интерес.
В разделе II решены также две задачи о безусловной базисности семейств функций,
порожденных системой скалярных весов Макенхаупта w (1 Ј k Ј n) . В пространстве
L2 ( [0, a], Вn) рассмотрим семейство вектор-функций
Y(lp,t):= col (c), cp:= col Вn, lp О L (13)
где - w - квазиэкспонента, построенная по весу w . Первая задача о безусловной
базисности формулируется следующим образом.
Задача I. При каких условиях на последовательность комплексных чисел L и
последовательность векторов семейство вектор-функций (13) образует безусловный
базис пространства L2 ( [0, a], Вn) ?
Введем в рассмотрение класс целых п х п - матриц-функций экспоненциального типа
F (z), удовлетворяющих условиям:
1) h 0 , h a, F (z) := ||Fkj|| , 1 Ј k, j Ј n
2) F (z) = E – z j (z), причем
, j (z): = ||j kj|| 1 Ј k, j Ј n
3) множество L = {lp } корней уравнения
Д (z) = 0, Д (z) : = det F (z)
бесконечно, причем все они простые.
Каждая такая матрица-функция F (z) порождает систему (13) следующим образом: в
качестве L: = берем множество корней уравнения Д (z) = 0, а соответствующие
векторы ср находятся из системы уравнений
F (lp)ср = 0, det F (lp) = 0
Если семейство (13) построено по F (z) указанным образом, то будем говорить,
что матрица-функция F (z) является порождающей для этого семейства. Доказано,
что наличие порождающей матрицы-функции есть необходимое условие безусловной
базисности произвольного семейства (13) в пространстве L2 ( [0, a], Вn) (Лемма
2.8). В следующей формулировке матричный вес Wb(х) строится по порождающей
матрице-функции с помощью формул (10), а функции w имеют прежний смысл.
Теорема 2.3. Пусть F (z) – порождающая матрица-функция семейства (13) и
выполнено условие:
Для безусловной базисности этого семейства в пространстве L2 ( [0, a], Вn)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись требования:
1) , , Д (z): = det F (z);
2) при каком-нибудь b < min {0, w} вес Wb(x) удовлетворяет матричному условию
(А);
3) семейство рациональных дробей
, m р = lр - bi ,
образует безусловный базис замыкания своей линейной оболочки в векторнозначном
классе Харди Н(Вп).
Последнее условие этой теоремы выполнено, если сдвинутая последовательность (из
верхней полуплоскости) удовлетворяет условию Карлесона:
(С)
Более точные признаки выполнения условия 3) связаны с понятием серий Карлесона.
Подробности изложены в подразделе 2.3, п. в), где рассмотрены также примеры,
иллюстрирующие решение задачи I.
В разделе II рассматривается также задача II о безусловной базисности в
пространстве L2 (0, a) систем функций вида
Y(lр , t):= , cp := col , lр О L, (14)
построенных по системе весов , 1 Ј k Ј n и последовательностям векторов ср О В
и комплексных чисел L = . Дадим теперь понятие порождающей матрицы-функции
экспоненциального типа F (z), которая удовлетворяет условиям:
1) , , 1 Ј k, j Ј n , F (z) = ||Fk j (z)||
F (z) = E – z j (z), причем
3) функции
, 1 Ј k Ј n
почти всюду равны между собой на сегменте [0, a]
4) уравнение
Д (z) = 0, Д (z): = det F (z)
имеет бесконечное множество корней, которые простые.
Доказывается (лемма 2.9), что каждый базис (14) пространства L2 (0, a)
порождается единственной такой матрицей-функцией F (z) в том смысле, что L
совпадает с множеством корней Д (z), а векторы ср находятся из уравнений
F (lр) ср = 0, det F (lр) = 0
В следующей формулировке матричный вес Vb(x) строится по порождающей функции F
(z) по формулам (10).
Теорема 2.5. Пусть F (z) - порождающая матрица-функция семейства вида (14),
причем