РАЗДЕЛ 2
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ R-ФУНКЦИЙ И RFM
2.1 R-функции и их приложения в аналитической геометрии. Работа с буквенными
параметрами.
Конструктивные средства RFM позволяют строить уравнения локусов сложной формы
(и/или уравнения их границ ) в виде , где вне (или ) в -мерном пространстве ().
При этом для полу-алгебраических и полу-элементарных локусов функции могут быть
представлены в виде элементарных функций [21-27]. Сложный локус, каким может
оказаться область , а, следовательно, и ее граница , описывается некоторой
логической формулой, связывающей простые локусы (примитивы), а затем с помощью
R-функций осуществляется переход к обычным, принятым в аналитической геометрии,
уравнениям (неравенствам) вида . Далее приведены некоторые сведения о
конструктивных средствах, предлагаемых RFM.
В большинстве случаев для построения функций используются следующие
R-операции:
(2.1)
где .
Чаще всего полагают или пользуются формулой [21-25]. При необходимости,
дополнительно может быть реализовано условие нормализованности функции [21]:
, (2.2)
где - нормаль к .
Первые две из формул (2.1) соответствуют известным логическим операциям
пересечения и объединения множеств, третья - дополнению (отрицанию), а
остальные две - равнозначности (отрицанию симметрической разности) [21,27].
Другие R-функции, методы их построения и использования изложены в [21,25].
Пример 2.1. Показанная на Рис.2.1 область построена с помощью опорных
подобластей:
.
Рис. 2.1 Локус
и имеет вид:
(2.3)
где символами и обозначены операции пересечения и объединения множеств.
Нетрудно проверить, что функции , благодаря соответствующим множителям,
являются нормализованными, то есть на границах отвечающих им областей
удовлетворяют условиям (2.2):
Согласно RFM для того, чтобы получить нормализованное уравнение границы
области, определяемой формулой (2.3), достаточно в (2.3) исключить символы , а
символы операций пересечения и объединения заменить символами и [25,71]:
. (2.4)
Нетрудно заметить, что левая часть уравнения (2.4), обозначенная , является
обычной элементарной функцией, поскольку символы операции и с помощью первых
двух формул (2.1) можно исключить. На Рис.2.2 приведена картина линий уровня
функции .
Рис. 2.2 Линии уровня функции, описывающей границу локуса
Если необходимо написать уравнение локуса , являющегося участком границы , то
можно поступить следующим образом. Пусть есть уравнение границы , а есть
область, которая выделяет из участок . Тогда, если функция нормализована на ,
то нормализованное уравнение выделенного участка границы можно представить в
виде:
. (2.5)
Пример 2.2. В Примере 2.1 было составлено уравнение (2.4) границы области
(рис.2.1). Напишем уравнение ее части , расположенной в правой полуплоскости .
В этом случае . Следовательно, согласно (2.5), получаем:
Аналогично для левой части :
Таким образом, появилась возможность при построении операторов интерлокации
использовать функции заданной гладкости и нормализованности, нулями которых
являются локусы.
Интерлокационные формулы совпадают на них с заданными функциями и/или со
значениями их производных по заданным направлениям. Итак, вместо точек теперь
используются произвольные локусы, а в роли значений интерполирующих функций в
точках выступают заданные на этих локусах функции (интерлокационная формула
Лагранжа) и их производные по заданным направлениям (интерлокационная формула
Эрмита). Рассмотрим каждую из этих формул в отдельности. Для простоты изложения
ограничимся случаем 2D, а вместо интервалов, на которых строились
интерполяционные формулы в 1D, в интерлокационных формулах будут
рассматриваться области.
В диссертационной работе проведено детальное исследование и модификация
интерлокационных формул с точки зрения эффективности их использования в
приложениях.
2.2 Нормальные уравнения локуса. Нормальные уравнения отрезка и дуги
окружности. Обобщенная операция равнозначности.
Характерным объектом изучения в аналитической геометрии является пара
, (2.6)
где - функция, - точка в -мерном евклидовом пространстве ,
- геометрический объект в , представляющий собой множество решений уравнения
(уравнения геометрического объекта ).
Простейшими примерами пар (2.6) являются:
{прямая, отсекающая по осям координат отрезки , },
{прямая, перпендикуляр к которой, опущенный из начала координат, наклонен к оси
абсцисс под углом },
{окружность радиуса с центром в начале координат}.
Приведенные слева функции однозначно определяют указанные справа геометрические
объекты, обратное же - неверно. Например, прямая, отсекающая по осям координат
отрезки , , может быть задана не только уравнением , но и уравнениями ,, и
т.п., а для окружности с центром в начале координат можно написать, например,
такие уравнения: , .
Примеры показывают, что отыскание геометрического объекта по заданной функции
(прямая задача аналитической геометрии) представляет собой задачу, имеющую
однозначное решение, в то время как построение уравнения по заданному
геометрическому объекту (обратная задача аналитической геометрии) может
привести к бесчисленному множеству решений (пучку функций равных нулю на и
отличных от нуля вне ).
Чтобы между парами {функция }{геометрический объект } существовало взаимно
однозначное соответствие, необходимо рассмотреть также некоторые дополнительные
условия, удовлетворение которым позволило бы выделить из множества возможных
решений обратной задачи аналитической геометрии единственное. Но для этого
при
- Київ+380960830922