РАЗДЕЛ 2
ВАРИАЦИОННЫЕ ПОСТАНОВКИ ПЛОСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА БАЗЕ
ПРИНЦИПА РЕЙССНЕРА
В данном разделе формулируются вариационные постановки плоских контактных
задач теории упругости для однородных и составных слоистых тел произвольной
геометрической формы с известными и неизвестными заранее областями контакта на
основе функционала Рейсснера, определенного на непрерывных и разрывных полях
напряжений и перемещений. Отмечены особенности смешанного вариационного
подхода. Приведен алгоритм поиска неизвестных областей контакта, основанный на
априорном задании участков контакта и отрыва и описании граничных условий на
них в виде строгих равенств. Материал по данному разделу изложен в работах
автора [1, 133–138].
2.1. Контактные задачи для однородных тел
2.1.1. Задачи с известной областью контакта. Запишем основные соотношения и
уравнения для плоских контактных задач теории упругости. Рассмотрим однородное
тело произвольной геометрической формы в декартовой системе координат. Пусть
упругое тело занимает область с границей .
На участке границы в упругое тело вдавливаются гладкие штампы (абсолютно
твердые тела) жестко связанные с телом. Это, так называемый, случай полного
сцепления, которым для ряда случаев моделируется процесс трения. Математически
это выражается заданием вектора перемещений , который определяется формой
штампов в районе области контакта после их
вдавливания в тело . На участке границы задан вектор внешней нагрузки
(поверхностных сил) . На участке границы в упругое тело вдавливаются жесткие
штампы, имеющие гладкие основания (трение не учитывается). Принимается, что
область контакта является неизменной в процессе деформирования упругого тела.
На этом участке считается заданной проекция вектора перемещений на направление
внешней нормали к поверхности , а касательная к составляющая вектора внешней
нагрузки равна нулю. Примем на участке локальную правую систему ортов, причем
один из ортов направлен по внешней нормали к . Векторы направляющих косинусов
этих ортов обозначим через . Матрицу направляющих косинусов для обозначим через
.
Для описания напряженно-деформированного состояния упругого тела при смешанной
постановке плоской задачи теории упругости введем векторы напряжений и
перемещений . Введем также: матрицу упругости для изотропного тела
где , – коэффициенты Ляме, – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона; матрицу
операций дифференцирования
и матрицу направляющих косинусов внешней нормали к границе
Теперь запишем уравнения теории упругости для плоского тела в матричном виде
относительно неизвестных компонентов векторов и . Они состоят из матричного
уравнения равновесия в области
, ( 2.1)
матричного уравнения, связывающего напряжения с перемещениями
, (2.2)
граничных условий на
, (2.3)
граничных условий на
, (2.4)
и условий контакта на
(2.5)
где – функция, описывающая поверхность штампов после вдавливания. Поскольку
было принято, что в процессе вдавливания штампов площадки контакта можно
считать неизменными, то постановку задачи замыкают условия равновесия штампов.
В частности, должно выполняться условие
, (2.6)
где – сила, прижимающая штамп к упругому телу .
2.1.2. Задачи с односторонними жесткими ограничениями. Характерной
особенностью многих практически важных задач, является тот факт, что на
некоторых участках области контакта заранее неизвестны, либо известны частично.
К таким случаям можно, например, отнести задачи, в которых возможен отрыв
основания штампа от упругого тела в процессе деформирования, о вдавливании
выпуклых штампов, задачи для тел с неудерживающими связями и др.
Пусть на упругое тело наложены связи, способные воспринимать только сжимающие
усилия в направлении общей нормали к контактирующим поверхностям и
представляющие собой абсолютно твердые тела, т.е. рассмотрим задачу с
односторонними жесткими ограничениями. Перемещения рассматриваемого упругого
тела на границах контакта с такими связями не могут быть произвольными и
требуют выполнения условий непроникания контактирующих тел друг в друга.
Особенностью такой задачи является возможность отрыва упругого тела от жесткой
поверхности, что приводит к перераспределению контактных напряжений и
соответственно к изменению параметров области контакта. Впервые контактная
задача была сформулирована как задача с односторонними связями в работах
итальянского ученого Синьорини [86,87].
Пусть на участке границы упругое тело соприкасается без зазора с абсолютно
твердой и идеально гладкой поверхностью. Примем на границе локальную правую
систему ортов, один из которых направлен по внешней нормали к . Векторы
направляющих косинусов этих ортов обозначим через . Матрицу направляющих
косинусов для обозначим через . Идеальная гладкость поверхности позволяет
заключить, что касательная составляющая вектора внешней нагрузки равна нулю,
т.е.
. (2.7)
Таким образом, к уравнениям (2.1)–(2.3) и условиям (2.4)–(2.7) добавляются
контактные условия в виде неравенств
(2.8)
Уравнения (2.1)–(2.8) образуют полную систему уравнений рассматриваемой
контактной задачи. Границы контакта можно представить состоящими из участка ,
где выполняются условия
(2.9)
и участка , где выполняются условия
(2.10)
Точки, разделяющ
- Київ+380960830922