РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРИВЯЗНЫХ ПОДВОДНЫХ СИСТЕМ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ИХ ДОСТОВЕРНОСТИ
2.1 Составление математической модели ППС
В самом общем виде многозвенная (комбинированная в том числе) ППС представляет собой систему, состоящую из n твердых и m гибких тел в потоке жидкости (рис. 2.1). Проектирование таких систем предусматривает расчет стационарных и динамических режимов. Стационарные режимы являются основными на стадии предварительного проектирования, а также на всех стадиях рабочего проекта. Расчет многозвенных ППС в стационарных режимах имеет следующие особенности:
Рис. 2.1. Многозвенная ППС
- множество расчетных схем (пространственные положения), отражающих основные рабочие и предельные режимы применения;
- большое количество оптимизационных задач (скорость буксировки, длина основного буксира и масса пригруза, длина дополнительного буксира, длина кабель-троса, энергозатраты и производительность;
- необходимость определения граничных (предельных) характеристик;
- наличие одновременно работающих (влияющих друг на друга) активных и пассивных твердых тел.
Это требует создания эффективного математического описания стационарных режимов многозвенных ППС как сложной пространственной системы. Такая математическая модель должна быть гибкой, т.е. легко перестраиваемой на каждую конкретную задачу. Для этого должны быть созданы следующие элементы модели:
- библиотека моделей твердых тел (самоходные привязные ПА, буксируемые аппараты, крылья, доски, буи, пригрузы);
- библиотека моделей твердых тел (кабель-тросы, буксиры, обтекатели);
- библиотека моделей течений.
Концепция исследования математических моделей привязных систем с помощью таких библиотек:
- прямая задача - заданы элементы и их пространственная конфигурация, требуется найти силовые и энергетические характеристики системы;
- обратная задача - заданы силовые характеристики твердых тел, требуется найти пространственную конфигурацию.
Решение прямой задачи возможно с помощью следующего алгоритма:
1. Задаемся взаимным расположением тел в пространстве.
2. Рассчитываем пространственное положение нитей и натяжения в точках сочленения.
3. По полученным натяжениям и гидродинамическим сопротивлениям сил получаем требуемые упоры движителей тел.
4. Зная упоры, определяем мощности каждого двигателя и движителя в отдельности и энергозатраты системы в целом.
Обычно такой порядок требует нескольких приближений, т.к. имеются ограничения по упорам (мощностям) как отдельных приводов, так и общим энергозатратам. Кроме того, имеются распространенные частные случаи тел, не создающих упоров вдоль набегающего потока: пригрузы, буи, отводящие решетки.
Обычно в практике расчетов нитей в потоке при заданных координатах концов нити используется метод последовательных приближений. При расчете ППС в самом общем виде использование такого метода неприемлемо из-за большой трудоемкости вычислений и числа приближений. В качестве основного способа решения по п. 3 данного алгоритма следует принять численное решение системы дифференциальных уравнений с граничными условиями, как будет сделано ниже для комбинированной ППС. Другие методы, например аналитический, следует применять для проверочных расчетов, в тех частных случаях, когда количество тел и связей мало (однозвенные ППС), для расчетов больших массивов решений с последующим статистическим анализом.
Рассмотрим зависимости, реализующие отдельные пункты этого алгоритма.
Дополнительные допущения и ограничения. Среди них приняты следующие:
1) кабель-трос не имеет витую наружную оболочку, вследствие чего Cb=0, на нем в потоке не создается боковая сила Rb:
; (2.1)
2) кабель-трос в воде невесомый, т.е. его плотность равна плотности воды, в формуле (1.6)
; (2.2)
3) растяжимость КТ (его продольная деформация) может учитываться, в отличие от [53], введения в алгоритм непосредственно длины растянутого КТ (по конечному состоянию) и возвратом к недеформированному состоянию в результате повторного расчета;
4) набегающий на КТ поток не меняет с глубиной направление, хотя значение его скорости может распределяться по глубине произвольно. Поскольку речь идет об алгоритмах проектных расчетов, а не о точном позиционировании ПА, такое допущение может привести к погрешности в безопасную сторону.
Первое и второе ограничения в основном подтверждаются практикой конструирования малых и средних ППС; третье допущение вообще не ведет к потере точности расчетов, лишь несколько их усложняя. Если задача плоская, то допущение о невесомости в воде КТ (нулевой его плавучести) при пользовании численными методами не существенно.
Аналитическое решение плоской задачи. Для аналитического решения плоской задачи выбраны уравнения равновесия гибкой нити в натуральной форме (1.11), (1.12), уравнение (1.13) в силу (2.1) отсутствует:
, (2.3)
, (2.4)
причем радиус кривизны линии нити (см. рис. 2.2)
. (2.5)
Рис. 2.2. Гибкая нить в потоке
Для КТ нулевой плавучести согласно (1.8),(1.9)
, (2.6)
, (2.7)
Так как ,, то, с учетом возможного варьирования направлений скорости потока и нормали v к кривой, вместо (2.6) и (2.7) имеем
, (2.8)
. (2.9)
Обозначим
(2.10)
и представим интенсивность внешних сил в виде:
, (2.11)
. (2.12)
Как видно из (2.11) и (2.12), внешние силы при невесомом КТ зависят только от одной переменной ?. Решение задачи сводится к квадратурам (1.27), (1.28):
; (2.13)
; (2.14)
; (2.15)
. (2.16)
Если учитывается сила веса КТ в воде , то
, (2.17)
. (2.18)
Внешние нагрузки и в этом случае зависят только от угла ?. Однак