РОЗДІЛ 2
АСИМПТОТИКА ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ І ВЛАСНИХ ФУНКЦІЙ ТА РОЗВИНЕННЯ ЗА ВЛАСНИМИ
ФУНКЦІЯМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНО-ГРАНИЧНИХ ОПЕРАТОРІВ З МАТРИЧНИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ
У цьому розділі досліджені деякі спектральні властивості оператора,
спорідненого в сенсі [43, 44] з парою, яка складається з максимального та
мінімального операторів, породжених в гільбертовому просторі описаним нижче
диференціальним виразом l[y]. Зазначимо, що різноманітним питанням спектральної
теорії диференціально-функціональних операторів, частковим випадком яких є ДГО,
присвячено праці багатьох математиків (див., нaприклад, [36 – 42] та цитовану
там літературу).
2.1. Позначення, постановка задачі та допоміжні відомості
2.1.1. Оператор Т. У цьому розділі під розуміємо множину лінійних операторів,
що діють у просторі , причому кожний такий оператор ототожнюємо з відповідною
матрицею, а через та позначаємо одиничні оператори в та відповідно.
Нехай
, (2.1)
(, де – визначені на [0,1] неперервні -значні функції, а , де
, (2.2)
(2.3)
( ; ; ), причому:
1) , ;
2) , якщо ;
3) хоча б один з операторів для є ненульовим;
4) система крайових форм – лінійно незалежна в сенсі означення, наведеного в
[2, с.106].
Далі, нехай , , , де , . Очевидно, що - лінійний неперервний оператор ,
спряжений з яким має такий вигляд: .
Визначимо оператори L та T за допомогою співвідношень:
, (2.4)
. (2.5)
Нижче вивчаємо зазначені в заголовку розділу спектральні властивості оператора
(2.4)–(2.5), які у випадку, коли , досліджено в розділі 3 монографії [2], а у
випадку, коли m=1, в [50–52]. При цьому істотно використовуємо деякі з
викладених в [2] відомостей, які для зручності наведено в п.п. 2.1.2-2.1.4.
2.1.2. Області та . Нехай . Покладемо і розділимо всю комплексну -площину на 2n
секторів , , де
Позначимо через сектор виду
Вважатимемо, що r міститься в деякій фіксованій області . Нехай w1,…,wn – всі
різні корені степеня n з числа –1 такі, що
. (2.6)
Таке означення чисел w1,…,wn є коректним і при n=2m
, якщо j=1,…,m,
, якщо j=m+1,…,n.
При n=2m-1
, якщо j=1,…,m-1,
, якщо j=m+1,…,n.
У випадку, коли n=2m-1, розділимо на дві підобласті
Далі, приймемо
(2.7)
Таким чином,
.(2.8)
При цьому, звичайно, вважаємо, що у випадку непарного n r міститься в одній з
двох фіксованих областей або .
2.1.3. Про одну фундаментальну систему розв’язків рівняння . Поряд з
диференціальним виразом l[y] та крайовими формами Un(y), про які йшла мова в
пункті 2.1.1, розглядатимемо диференціальний вираз
(2.9)
та крайові форми
, (2.10)
де
, (2.11)
, (2.12)
визначені на достатню кількість разів диференційовних -значних функціях.
Розглянемо рівняння
. (2.13)
Розв’язки рівняння (2.13) називаються лінійно незалежними, якщо
, .
У цьому випадку будь-який розв’язок Y зазначеного рівняння має вигляд (),
а будь-який розв’язок рівняння має вигляд , де .
Відомо, що рівняння (2.13) в будь-якій області комплексної r-площини має n
лінійно незалежних розв’язків , аналітичних відносно , які при і достатньо
великих задовольняють співвідношення , (2.14) де j=1,…,n,
k=0,1,…,n–1.
Зауважимо, що тут, як і скрізь в розділі 2, запис , де – -значна функція,
означає, що . (2.15)
Далі, з (2.14) випливає, що , (2.16) (), а, отже, при n=2m (2.17) а
при n=2m-1 (2.18)
2.1.4. Регулярні крайові форми. Система крайових форм (див. (2.2)–(2.3))
називається регулярною за Біркгофом, якщо: а) при n=2m–1 числа q0 та
qm, визначені за допомогою рівності , (2.19) відмінні від нуля; б)
при n=2m числа q-m та qm, визначені за допомогою рівності
det(A,B), де (2.20)
А=,
B=,
відмінні від нуля.
Означення регулярності не залежить від вибору області . Якщо n=2m, корені
рівняння при переході від області з парним c до області з непарним c змінюють
свої значення на обернені. Якщо ж n=2m-1, то рівняння має одні і ті самі корені
для всіх з непарним c, а також одні і ті самі корені для всіх з парним
c. Зауважимо, що в (2.19)–(2.20) фігурують визначники матриць порядку mn x mn.
2.2. Розв’язування рівняння
2.2.1. Оператор-функція . Нехай – деяка фундаментальна система розв’зків
рівняння ,
, (2.21)
а Wj, j=1,…,n – матриця m-го порядку, транспонована до матриці, складеної з
алгебраїчних доповнень елементів матриці Yj у визначнику detW (порядок якого
рівний mn). Приймемо
, (2.22) (2.23)
Далі, нехай , причому r міститься в деякій фіксованій області , більше того,
якщо n=2m-1, то вважаємо, що або ж .
Введемо в розгляд оператор-функцію
(2.24)
Надалі мається на увазі, що у виразах типу g(k), Un(g), , , всі похідні та
інтеграли беруться за змінною x, зокрема, , .
Лема 2.2.1. Нехай і . (2.25)
Тоді ,
(2.26)
і, крім того, , n=1,…,n+r. (2.27)
Д о в е д е н н я. Позначимо . Як підтверджує безпосередня перевірка, . Отже .
Звідси і з того, що , (див. [2, с.116]), випливає правдивість рівностей
(2.26)–(2.27).
З а у в а ж е н н я 2.2.1. З означення функцій випливає, що
,
де – нульова матриця. Тому (див.(2.24)) будемо мати
,
а, отже . Це й підтверджує правильності рівностей (2.26)–(2.27).
2.2.2. Формула для загального розв’язку рівняння t[y]=ly. -значна функція y є
розв’язком рівняння
(2.28)
тоді і тільки тоді, коли існують такі , що , (2.29) . (2.30)
Зафіксуємо деяку фундаментальну систему розв’язків рівняння . Зі сказаного в
п.2.1.3 і з леми 2.2.1 випливає, що загальний розв’язок рівняння (2.29) має
вигляд
, (2.31)
де , , (2.32)
а оператор-функція визначена згідно з (2.24). Враховуючи (2.30), бачимо, що
век
- Київ+380960830922