РАЗДЕЛ 2
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СДВИЖЕНИЯ ПРИ ПОДРАБОТКЕ РАЗРЫВНЫХ
ТЕКТОНИЧЕСКИХ НАРУШЕНИЙ ПОЛОГИМИ УГОЛЬНЫМИ ПЛАСТАМИ
2.1. Объемное моделирование сдвижений горных пород и земной поверхности методом
конечных элементов
В настоящей работе исследовались трехмерные математические модели в условиях
трехосного напряженно-деформированного состояния. В основном углевмещающем
массиве выделялся произвольный прямоугольный параллелепипед, включающий в себя
очистную выработку и всю зону её влияния. Каждая точка данной области (далее –
массив исследования) имеет три степени свободы вдоль осей ОX, ОY и ОZ, а, в
целом, множество точек массива дает бесконечное число возможных перемещений.
Поэтому, согласно основной концепции МКЭ, массив исследования разделялся на
конечное число элементов (рис. 2.1), имеющих форму неправильного гексаэдра
(рис. 2.2).
Отдельные элементы взаимодействуют между собой только в узлах. Перемещения
любой точки внутри элемента определяются перемещениями его узловых точек через
аппроксимирующий полином. Величины влияния перемещений каждого узла на
перемещения внутренних точек элемента выражаются функциями формы узловых точек,
которые получены на основе исходного аппроксимирующего полинома [1, 32, 33,
92]. В качестве прообраза неправильного гексаэдра используется куб, в системе
локальных координат с началом в центре куба:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
где ui, vi, wi – перемещения i–ой точки вдоль осей ОX, ОY, ОZ соответственно;
Ni – функции формы i–ого узла гексаэдра:
– координаты точек в системе координат прообраза.
Дифференцируя перемещения точек (2.1) по координатам X, Y, Z, получаем
относительные деформации в пределах элемента. При этом производные функций
формы по координатам X, Y, Z связаны с производными по координатам прообраза
матрицей Якоби [1, 32, 33, 92]:
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
где – матрица функций форм узловых точек;
– матрица перемещений узловых точек;
– матрица Якоби;
– производная функции формы i–ой точки.
Для упругих сред напряжения связаны с деформациями законом Гука [33]:
(2.8)
где – матрица деформационных характеристик элемента.
Распределенная по объёму элемента сила тяжести сводится к узловым силам с
учетом функций форм, которые ещё называются функциями влияния узлов.
Приравнивая работу узловых сил и работу внутренних напряжений при бесконечно
малом перемещении узловых точек, получаем:
(2.8)
где – матрица жесткости элемента.
Вычисление тройного интеграла заменяется вычислением значения
подынтегрального выражения в восьми точках интегрирования по квадратуре
Гаусса–Лежандра и умножением этих значений на долю объема элемента,
приходящегося на данную точку интегрирования (весовой коэффициент), который в
данном случае равен единице:
(2.9)
Сведение распределенных сил к узловым, осуществляется по формуле:
(2.10)
где Ni,mnk – значение функции i–ого узла в очередной точке интегрирования;
– удельная (на единицу объема) массовая сила, действующая вдоль данного
направления оси координат.
Из матриц жесткости элементов формируется матрица жесткости всей системы
элементов (МЖС) путем рассылки членов матриц жесткости отдельных элементов в
соответствующие адреса МЖС и алгебраического суммирования их с ранее
накопленными там величинами. МЖС представляет собой набор коэффициентов системы
линейных уравнений, связывающих 3·n перемещений узловых точек вдоль осей
координат с 3·n узловыми силами. Матрица жесткости системы симметрична
относительно главной диагонали и имеет ленточную структуру. Наибольшим по
абсолютной величине членом каждой строки является член главной диагонали.
Ширина ленты (матрицы) определяется максимальной разностью номеров узловых
точек одного элемента.
Для граней массива исследования необходимо задать граничные условия: ограничить
массив жестким каркасом. Для боковых X и Y граней задаются нулевые перемещения
вдоль осей X и Y соответственно, а для нижней грани – нулевые перемещения вдоль
всех трех осей координат.
Для расчетов, связанных со сдвижением горных работ пород, возможно два варианта
моделирования очистной выработки:
1. Задаются вертикальные и горизонтальные перемещения узловых точек,
непосредственно примыкающих к моделируемой выработке, т.е. узлов
непосредственной кровли и почвы пласта. Таким образом начальные граничные
условия заданы в перемещениях. В процессе решения отыскиваются смещения всех
остальных узлов и напряжения, возникающие в элементах. Такой подход называется
“ моделью сдвижения ”[48, 109].
2. Для каждого элемента модели рассчитывается вес, действующий как вертикальная
сила, и прикладывается к узлам элемента. Таким образом, начальные граничные
условия заданы в виде узловых нагрузок. В процессе решения отыскиваются
смещения всех узлов модели, в том числе и в непосредственной кровле и почве
выработки. Такая схема названа “модель нагрузок” [48, 109]. В этом случае
решение проводится как минимум в два шага. На первом этапе производится расчет
смещений и напряжений в массиве под действием собственного веса, а на втором –
с учетом очистной выработки. Тогда деформации, вызванные наличием очистной
выработки, вычисляются как разность соответствующих смещений на 2–м и 1–м шаге
решения.
Для слоистого массива, а тем более для нарушенного массива горных пород,
предпочтительней является второй вариант, т.к. в этом случае возникают более
правдоподобные напряжения, т.е. напряжения под действием собственного веса
пород.
Имитация очистной выработки осуществляется заданием соответствующим элементам
расчетной схемы специальных упругих характеристик [12, 47], при которых
соблюдается
- Київ+380960830922