Раздел 2
Решение по Сен-Венану для гиба трубы
2.1. Основные уравнения для криволинейной оболочки
Гиб рассматривается как тонкостенная оболочка. Геометрические размеры и
обозначения приведены на рис.2.1. Здесь r, - локальная система полярных
координат, связанная с каждым поперечным сечением; , , - локальная система
декартовых координат, причем - координата рассматриваемой точки по лучу,
соединяющему центр гиба (т.) с центром рассматриваемого сечения (т.),
отсчитываемая от т.; R - средний радиус поперечного сечения; t - толщина стенки
трубы; В - радиус кривизны гиба; - угловая координата поперечного сечения гиба.
Направления локальных перемещений точек поверхности гиба трубы (w, v, u)
совпадают с направлениями координат (r, , x) соответственно. Угол отсчитывается
от оси в сторону противоположную .
Важно заметить, что все глобальные величины (внешние изгибающие и крутящий
моменты, углы поворотов и перемещения сечения гиба, коэффициент увеличения
податливости) относятся к центру сечения гиба. Такая привязка в дальнейшем
позволит достаточно просто распространить полученные решения на случай
сопряжения гиба трубы с другими элементами трубопроводной системы.
В настоящем разделе учитываются следующие внешние силовые факторы, приводящие к
деформации гиба:
(2.1а)
(2.1б)
(2.1в)
где - крутящий момент; - изгибающий момент относительно оси , т.е. момент в
плоскости гиба; - изгибающий момент относительно оси , т.е.
Рис.2.1. Общий вид и система координат для гиба трубы
момент из плоскости гиба. Этим самым вводится единичное напряжение и
соответствующие безразмерные коэффициенты k, которые характеризуют величину
внешнего нагружения. Положительные направления , и соответствуют вращению по
часовой стрелке вокруг соответствующей оси, если смотреть вдоль оси из начала
координат. Внешние поперечные силы, приводящие к изменению вектора внешнего
момента, не учитываются. Момент считается постоянным по координате , а моменты
и зависящими от координаты . При этом глобальные изгибающий и крутящий моменты
связаны между собой дифференциальными зависимостями:
(2.2)
Из уравнений (2.2) несложно получить дифференциальную связь между безразмерными
моментами и :
; .
(2.3)
Уравнения равновесия для торообразной оболочки имеют следующий вид [12]:
(2.4а)
(2.4б)
(2.4в)
(2.4г)
(2.4д)
Здесь - локальные продольные и поперечные силы в соответствующих направлениях;
и - локальные изгибающие моменты, и - касательные сила и момент,
соответственно; - первоначальный радиус кривизны каждой точки поверхности гиба
трубы:
(2.5)
здесь - первоначальный радиус кривизны гиба.
Внутренние силы и моменты связаны с деформациями с помощью так называемых
физических уравнений, которые записываются следующим образом:
(2.6а)
(2.6б)
(2.6в)
(2.7а)
(2.7б)
(2.7в)
где , , - деформации срединной поверхности; , - кривизны в соответствующих
направлениях; и Е - модуль Юнга, - коэффициент Пуассона.
Геометрические уравнения связывают перемещения точек срединной поверхности и
деформации. Для обоснования дальнейших упрощений дадим их в кратком выводе. В
соответствии с решениями в рамках теории упругости деформации удлинения и
сдвига, записанные в тороидальных координатах, имеют вид:
(2.8а)
(2.8б)
(2.8в)
(2.9а)
(2.9б)
(2.9в)
где - переменный радиус сечения гиба. На основе этих уравнений устанавливаются
геометрические уравнения теории оболочек. Исходным является допущение о том,
что перемещения произвольной точки оболочки могут быть представлены в виде
[33]:
(2.10а)
(2.10б)
(2.10в)
где , , - перемещения срединной поверхности оболочки; , - углы поворотов
нормали к срединной поверхности; - координата по толщине стенки оболочки (,
если точка находится на срединной поверхности), совпадающая по направлению с
осью r. В соответствии с исходными гипотезами теории оболочек считаем, что .
Тогда из уравнений (2.9б), (2.9в)-(2.10) можно получить выражения для и :
(2.11а)
(2.11б)
Аналогично выражениям для перемещений (2.10) деформации можно представить в
виде
(2.12а)
(2.12б)
(2.12в)
При этом выражения для кривизн , и могут быть представлены в виде суммы
деформационных и угловых компонент:
(2.13а)
(2.13б)
(2.13в)
где верхний индекс “N” относится к деформационной компоненте, а “M” – к
угловой. Деформационная компонента связана с изменением кривизны при изменении
длины элемента, а угловая – с изменением угла наклона элемента.
Выражения , , , , и получаются подстановкой (2.10) с учетом (2.11) в (2.8а),
(2.8б) и (2.9а), при этом для получения деформационных составляющих кривизн
принимается во внимание представление :
(2.14а)
(2.14б)
(2.14в)
(2.15а)
(2.15б)
(2.15в)
Окончательно зависимости (2.15) между кривизнами и перемещениями для срединной
поверхности круговой тороидальной оболочки записываются так:
(2.16а)
(2.16б)
(2.16в)
Геометрические выражения (2.14) и (2.16) были получены различным путем многими
авторами. Деформационные выражения (2.14) совпадают у всех авторов. Выражения
для компонент , и в общем случае незначительно отличаются у разных авторов [94,
109], что в конечном итоге приводит к почти одинаковым результатам при
непосредственном трудоемком решении путем подстановки геометрических уравнений
(2.14) и (2.16) в уравнения равновесия (2.4) с учетом физических уравнений.
Приведенный выше схематический вывод деформационных уравнений имеет целью
обоснование упрощающих гипотез, обычно применяемых для решения таких задач.
Наиболее известной из них является упоминавшаяся гипотеза Кармана о
нерастяжимости срединной поверхности в окружн
- Київ+380960830922