РОЗДІЛ 2.
ТЕРМОПРУЖНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМИ ТРІЩИН, РОЗТАШОВАНИХ НА МЕЖІ ПОДІЛУ РІЗНОРІДНИХ ІЗОТРОПНИХ СЕРЕДОВИЩ ПІД ДІЄЮ ЗОСЕРЕДЖЕНИХ СИЛ, МОМЕНТІВ, ТЕПЛОВИХ ДЖЕРЕЛ ТА ОДНОРІДНОГО ТЕРМОМЕХАНІЧНОГО НАВАНТАЖЕННЯ НА НЕСКІНЧЕННОСТІ
Передмова
В даному розділі розглядається плоска термопружна задача для системи тріщин розташованих на лінії стику двох різнорідних ізотропних півплощин, або півпросторів. В якості навантаження розглядається зосереджені фактори (сили, моменти і теплові джерела) і рівномірно розподілені зусилля розтягу, зсуву та тепловий потік, що прикладені на нескінченності. В п.2.1.1 робиться загальна постановка задачі. В п.2.1.2-2.1.5 задача, методами теорії функцій комплексного змінного, зводиться до крайових задач для аналітичних функцій з особливими точками, розв'язок яких одержано в замкненій формі. Виводяться формули для полів напружень, переміщень, температури і теплового потоку у всій площині, а також виписуються вирази для напружень і теплового потоку вздовж лінії жорсткого зчеплення матеріалів і в зонах контакту берегів тріщин, для стрибка переміщень берегів тріщин, та стрибка температури на берегах. Виводиться система трансцендентних рівнянь для визначення довжин зон контакту. Приводяться вирази для КІН в вершинах тріщини. Розглядається поведінка напружень і стрибка переміщень берегів тріщини в околі точок змикання берегів, і на основі одержаних таким чином формул виводяться умови, яким повинно задовольняти теплове навантаження, щоб побудований розв'язок мав фізичний сенс.
Далі в п.2.2.1-2.2.3 приводяться важливі часткові розв'язки задачі, а саме розглядаються тріщина з повністю відкритими берегами, тріщина з однією і двома зонами контакту. Проводиться чисельний аналіз часткових випадків. Досліджено поведінку КІН, відносних довжин зон контакту для різних видів навантаження і для різних матеріалів. Проводиться порівняння результатів для різних випадків.
2.1. Постановка задачі та її розв'язок в загальному випадку
2.1.1. Постановка задачі. Розглянемо ізотропне пружне тіло, що складається з двох різнорідних жорстко зчеплених нескінчених півпросторів або півплощин з термопружними параметрами, які будемо позначати так: Ek ? модулі Юнга, ?k ? коефіцієнти Пуассона, kk ? коефіцієнти теплопровідності і ?k ? коефіцієнти теплового розширення (нижні індекси k=1 або k=2 вказують на те, що дана величина характеризує верхнє або нижнє тіло, відповідно). Задамо Декартову систему координат xyz так, щоб вісь Оy була перпендикулярно до площини (лінії) стику півпросторів (півплощин), а вісь Ox лежала в площині стику півпросторів або вздовж лінії стику півплощин. Вважаємо, що вздовж осі x розташовані тріщини з відкритими ділянками та зонами контакту берегів. У якості навантаження будемо задавати рівномірно розподілені зусилля ?, ?, , та тепловий потік , що прикладені на нескінченності, а також зосереджені сили , моменти та теплові джерела потужності , які прикладені в довільних точках верхньої (для k=1) і нижньої (для k=2) півплощин (півпросторів) (див. рис. 2.1). У випадку півпросторів все навантаження вважається рівномірно розподіленим вздовж осі z, так щоб мала місце плоска задача. Відкриті не навантажені ділянки тріщин будемо вважати ідеально тепло ізольованими, а зони контакту ? гладкими та ідеально теплопровідними. Відкриті ненавантажені ідеально тепло-ізольовані ділянки тріщини будемо позначати Mn, закриті ідеально теплопровідні ділянки тріщини з гладким контактом берегів позначаємо як Ln, лінію жорсткого зчеплення ? U. Точки переходу від жорсткого зчеплення до зон контакту будемо позначати як ai (i=1, 2,...I), точки між зонами контакту і відкритими ділянками ? bj (j=1, 2,...J), між зчепленням і відкритими ділянками ? cn (n=1, 2,...N) (рис. 2. 1).
Зауважимо, що напруження і повинні задовольняти наступним умовам спряження [61]
де .
Шукані термомеханічні поля доцільно представити як суму однорідного поля, що викликається в площині без тріщин в результаті дії термомеханічного навантаження прикладеного на нескінченності, та поля, яке спричиняють тріщини, тобто
, .
Очевидно, що поля і дорівнюють нулеві на нескінченності. В подальшому аналізі під термомеханічними полями будемо розуміти саме ці поля, якщо не сказано інше, і будемо опускати зірочку в їх позначенні. Таким чином, умови спряження та граничні умови, що мають місце вздовж осі x, можна записати у наступному, зручному для подальшого аналізу, вигляді
x?L+M+U, (2.1)
(2.2)
x?L, (2.3)
x?M, (2.4)
тут введені такі позначення: , . Квадратні дужки позначають стрибок відповідної функції через лінію стику, тобто [f(x)]=f (1)(x, 0)-f (2)(x, 0).
2.1.2. Зведення задачі до крайових задач для аналітичних функцій.
В даному пункті використовуються формули Колосова-Мусхелішвілі узагальнені на випадок плоскої задачі термопружності і за допомогою цих формул задовольняються умови спряження, що приводить до того, що поля напружень, переміщень, температури і теплового потоку виражаються через дві функції комплексного змінного, які є аналітичними у всій площині за винятком ділянок, що займають тріщини і точок прикладання зосереджених факторів та комплексно спряжених до них точок, в яких функції мають полюси першого та другого порядків, якщо прикладені зосереджені сили чи моменти і логарифмічні особливості, якщо прикладені теплові джерела.
Згідно Мусхелішвілі [24], розв'язок плоскої задачі термопружності при відсутності об'ємних навантажень можна виразити через три аналітичні функції комплексного змінного z=x+iy. А саме, для полів напружень та переміщень справедливі наступні формули
(2.5)
, (2.6)
а для температурного поля вирази
. (2.7)
Так як, за визначенням
, ,
то після підстановки сюди виразу (2.7) отримуємо наступну формулу для компонент теплового потоку
. (2.8)
У формулах (2.5) введені такі позначення:
?k(z)=??k(z), ?k(z)=??k(z), ?k(z) ? аналітичні функції комплексного змінного z в верхній (k=1) та нижній (k=2) півплощинах. Горизонтальна риска над величиною познача
- Київ+380960830922