раздел 2.1). Все включения понимаются в том смысле, что класс эквивалентности в более "узком" пространстве содержится в некотором классе эквивалентности более "широкого" пространства. Как показано в [13], все включения здесь строгие в следующем смысле: в более "широком" пространстве существуют классы эквивалентности, не содержащие ни одну функцию, а, значит, и ни один класс эквивалентности более "узкого" пространства.
1.2. Голоморфные почти периодические функции в полосе в равномерной метрике
Определение 1.2.1 (cм., например, [63], стр. 310, а также [20], стр. 51).
Непрерывная функция в полосе называется равномерной почти периодической функцией, если для любого множество -почти периодов
относительно плотно. Пространство таких функций будем обозначать через .
Для функций из этого пространства верны аналоги теорем 1.1.1-1.1.4, среднее значение
существует равномерно относительно и является непрерывной функцией от .
Положим . Тогда есть непрерывные функции переменной , причем множество , для которых при не более чем счетно. Поэтому каждой функции соответствует ряд Фурье
где - коэффициенты Фурье относительно .
Из теоремы 1.1.6 следует, что совпадение рядов Фурье у функций для всех означает, что . Далее, для последовательность сумм Бохнера-Фейера
равномерно в сходятся к функции . Поэтому имеет место также аналог теоремы 1.1.9.
Теорема 1.2.1 (cм., например, [63], стр. 317).
Функция является равномерной почти периодической в полосе тогда и только тогда, когда можно равномерно в аппроксимировать суммами вида
,
где - непрерывные функции на .
Пусть теперь - открытая полоса, возможно, бесконечной ширины.
Определение 1.2.2.
Непрерывная функция называется равномерной почти периодической функцией в полосе , если сужение на любую полосу при лежит в классе . Пространство таких функций обозначим , а пространство голоморфных почти периодических функций в полосе через .
Вместо равномерной метрики можно также рассмотреть метрику Степанова порядка
.
Здесь вместо непрерывности функций и надо требовать измеримость и локальную интегрируемость по -той степени модуля функции при каждом фиксированном . Подобно , можно определить пространства голоморфных почти периодических функций по Степанову порядка в . Однако новых пространств функций мы не получим:
Теорема 1.2.2 (Теорема Линфута) (см., например, [7], стр. 146, а также [63], стр. 334).
Если голоморфная в полосе функция имеет в любой меньшей полосе , для любого относительно плотное множество -почти периодов по Степанову , то .
Как видно из следующей теоремы, ряды Фурье голоморфных почти периодических функций обладают специальными свойствами.
Теорема 1.2.3.
Ряд Фурье функции , , как функции от при фиксированном имеет вид
где числа и от и не зависят.
Поэтому каждой голоморфной почти периодической функции соответствует ряд , который называется рядом Дирихле функции . Числа называются коэффициентами Дирихле, а числа - показателями Дирихле функции .
Справедлив также следующий аналог теоремы 1.1.7.
Теорема 1.2.4 (см., например, [63], стр. 317).
Для функции последовательность сумм Бохнера-Фейера
равномерно в каждой полосе , сходится к функции .
Отсюда и из аналога теоремы 1.1.4 для голоморфных функций в полосе вытекает следующее следствие.
Теорема 1.2.5.
Голоморфная функция в полосе есть равномерная почти периодическая функция в этой полосе тогда и только тогда, когда существует последовательность конечных экспоненциальных сумм вида , равномерно сходящихся к функции на каждой подполосе .
Для ограниченных голоморфных функций почти периодичность достаточно проверить на одной прямой в полосе:
Теорема 1.2.6 (см., например, [7], стр. 142, а также [63], стр. 311).
Пусть функция голоморфна в полосе и ограничена в любой полосе . Предположим, что на прямой () функция есть равномерная почти периодическая функция. Тогда - равномерная почти периодическая функция в .
В следующих вариантах этой теоремы почти периодичность известна только на границах полосы, а условие ограниченности в полосе отсутствует.
Теорема 1.2.7 (см., например, [63], стр. 318).
Предположим, что ряд для и является рядом Фурье равномерных почти периодических функций и . Тогда существует равномерная почти периодическая в полосе и голоморфная в полосе функция с рядом Дирихле , совпадающая с и, соответственно, с на границах полосы .
Теорема 1.2.8 (см., например, [63], стр. 318).
Пусть функция голоморфна в полосе , непрерывна в полосе , а на прямых и является равномерной почти периодической функцией переменной с рядом Фурье
Тогда является равномерной почти периодической функцией в замкнутой полосе , и ее ряд Дирихле имеет вид .
Перейдем теперь к теоремам, где присутствуют ограничения на спектр.
Теорема 1.2.9 (см., например, [63], стр. 319).
Пусть дан ряд
с отрицательными показателями Дирихле (). Предположим, что для некоторого ряд (1.13) является рядом Фурье равномерной почти периодической функции . Тогда существует равномерная почти периодическая в полосе и голоморфная в полосе функция, которая на прямой совпадает с функцией , имеет своим рядом Дирихле ряд (1.13) и при стремится равномерно по к нулю.
Справедлива также обратная теорема.
Теорема 1.2.10 (см., например, [63], стр. 320).
Пусть функция равномерно ограничена в . Тогда все показатели ряда Дирихле функции неположительны.
Полезной в приложениях является следующая теорема.
Теорема 1.2.11 (см., например, [63], стр. 320).
Пусть есть равномерная почти периодическая функция на и пусть показатели Фурье функции ограничены. Тогда продолжается до целой равномерной почти периодической функции в .
Эта теорема справедлива также для случая метрики Степанова.
Теорема 1.2.12 (см. [58], стр. 114).
Если спектр функции ограничен, то продолжается до целой равномерной почти периодической функции экспоненциального типа, причем отрезок , где - индикатор Фра