РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБМОТОЧНЫХ МАШИН
С УЧЕТОМ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ
2.1. Основные уравнения динамики обмоточных машин
Рассмотрим вначале обмоточную машину без учета приводного и тормозного механизмов.
Для построения математической модели рассмотрим обобщенную схему обмотчика, показанную на рис.2.1.
Рис. 2.1. Обобщенная схема обмотчика
На этой схеме обозначены V- скорость схода ленты с кружка; Vп - скорость приводного механизма, S - натяжение ленты.
Обмотчик состоит из приводного механизма, зарядной катушки с лентой и участка обмоточной ленты. Внешними силами являются: сила приводного механизма Fп(t) и сила тормозного механизма Fт(t).
Рассмотрим динамику движения приводного механизма. На приводной механизм действует сила приводного механизма Fп(t) и обмоточная лента с натяжением S(t). Тогда уравнение состояния приводного механизма может быть записано в следующем виде
, (2.1)
где Iп - момент инерции приводного механизма относительно оси его вращения;
lп - эквивалентный радиус, на который приложена сила натяжения обмоточной ленты S(t), создающий тормозной момент на приводной механизм;
Rп- радиус, на котором действует сила приводного механизма Fп(t).
В этом уравнении введем коэффициент вязкого трения , характеризующий внутренне демпфирование приводного механизма.
Рассмотрим динамику движения кружка с лентой на который действует натяжение ленты S(t) и сила тормозного механизма Fт(t). Тогда уравнение динамики кружка с лентой может быть записано в следующем виде
, (2.2)
где I - момент инерции кружка ленты относительно оси его вращения кружка ленты;
R - радиус тормозного механизма кружка ленты, на который приложена сила тормозного механизма Fт(t);
r - радиус схода ленты с кружка.
Здесь также введен коэффициент вязкого трения кружка с лентой , характеризующий внутреннее демпфирование кружка с лентой.
Натяжение участка ленты между кружком ленты и обмоточным кабелем S(t) определяется изменением длины ленты, связанным с различными длинами схода ленты с кружка Dl(t) и расхода ленты на обмотку Dln(t)
, (2.3)
где Сs - жесткость участка обмоточной ленты на растяжение.
Продифференцируем обе части этого уравнения и получим уравнение состояния ленты
. (2.4)
Рис.2.2. Схема модели обмоточной машины
Параметры обмоточной машины изменяются с течением времени. Наиболее сильно изменяется радиус кружка ленты R и момент инерции кружка с лентой I по мере выработки ленты в процессе обмотки. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать три варианта параметров обмоточной машины, соответствующие трем радиусам размотки - начальному rн, среднему rср , конечному rк.
2.2. Двухмассовая модель обмоточной машины и ее динамические
характеристики
Рассмотренная математическая модель обмоточной машины не учитывает в ней наличие упругих элементов между валом двигателя и приводным механизмом. В тоже время приводной двигатель расположен на значительном расстоянии от приводного механизма и связан с ним валом через редуктор.
Наиболее простой моделью такой системы с учетом упругих элементов является, представленная на рис.2.3, модель приводного механизма в виде двухмассовой системы.
Рис.2.3. Модель приводного механизма в вид двухмассовой системы
На этой схеме входной величиной является сила приводного механизма двигателя Fд, а выходной величиной - скорость приводного механизма Vп. При этом для скорости приводного двигателя Vд получим следующее уравнение состояния:
(2.5)
где mg - масса подвижных частей приводного двигателя; Fп(t) - сила приводного механизма, равная сумме силы упругости Fу(t) и силы вязкого трения Fвт(t)
. (2.6)
Сила вязкого трения Fвт(t) пропорциональна разности скоростей приводного двигателя Vд(t) и приводного механизма Vп(t)
, (2.7)
где - коэффициент вязкого трения в упругих элементах.
Сила упругости Fу(t) пропорциональна разности углов поворота приводного двигателя и приводного механизма
, (2.8)
где Сm - коэффициент жесткости упругой передачи. Продифференцировав обе части уравнения (2.8) получим уравнение состояния для силы упругости
. (2.9)
Введем вектор состояния , компонентами которого являются сила упругости Fу(t) и скорость приводного двигателя Vд(t)
. (2.10)
Рассмотрим теперь математическую модель тормозного механизма. Величина тормозной силы Fт(t) определяется положением рейки редуктора тормозного механизма. На основании экспериментальных переходных процессов тормозного механизма [21] примем его модель от входного напряжения тормозного механизма Uт до выходной координаты - силы тормозного механизма Fт в виде звена второго порядка, рис. 2.4.
Рис. 2.4. Алгоритмическая схема модели тормозного механизма
Введем переменные состояния - сила тормозного механизма Fт(t) и скорость изменения этой силы Vт(t). Тогда на основании схемы, показанной на рис.2.4 получим следующие уравнения состояния:
; (2.11)
. (2.12)
Введем вектор состояния , компонентами которого являются скорость приводного механизма Vп(t), скорость приводного двигателя Vд(t), сила упругости Fу(t), скорость изменения силы тормозного механизма Vт(t), сила тормозного механизма Fт(t), скорость схода ленты с кружка V(t) и натяжение S(t)
. (2.13)
Введем вектор управления , компонентами которого являются сила приводного двигателя