РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА МОДЕЛЕЙ ОЦЕНКИ РИСКА СТОЛКНОВЕНИЙ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ В ПОЛЕТЕ
2.1. Численно-аналитическая оценка риска столкновений воздушных судов на пересекающихся маршрутах
Рассмотрим задачу оценки вероятности столкновения воздушных судов на двух пересекающих маршрутах. При этом будем исходить из таких предположений:
- движение самолетов на каждом из маршрутов рассматриваем как пуассоновский поток с интенсивностью q1 и q2 соответственно;
- в случае отсутствия управления воздушным движением (УВД) движение ВС на этих маршрутах является взаимно независимым;
- законы распределения отклонений ВС в боковом направлении на маршруте - , а на - , где - отклонение от маршрута; и образуют соответствующие функции и , где - координат некоторой точки А пространства, где могут находиться ВС при столкновении;
- время исследования при моделировании Т = 105 (час).
Через любое сечение маршрута за интервал времени Т пролетает Тq1 самолетов. Число появления самолетов маршрута в сечении в момент времени t, равно:
, (2.1)
где ? - среднее время, за которое ВС пролетает плоскость сечения , учитывающее длину самолета и скорость его полета.
Среднее время ? рассчитается по формуле:
, (2.2)
где l- средняя длина самолета; v- средняя путевая скорость его полета.
Из (2.1) и (2.2) получим:
. (2.3)
Аналогично получим число появления самолета на маршруте в сечении в момент времени t.
Рассмотрим случай, когда все самолеты находятся на одной высоте (эшелоне)- H=const. Получаем, что в момент времени t в любой точке сечения А(х,у) число появления воздушных судов маршрута составляет:
, (2.4)
а число появления воздушных судов маршрута :
. (2.5)
Столкновение двух самолетов произойдет, если два самолета обоих маршрутов в момент времени t окажутся в некоторой точке А(х,у,Н). Из (2.4) и (2.5) получим число столкновений в точке А в любой момент t:
. (2.6)
Тогда количество столкновений между самолетами двух пересекающих маршрутов за время Т равно:
. (2.7)
Для расчета величины N рассмотрим декартовую систему координат (рис. 2.1), которая имеет начало системы координат О(0,0), совпадающее с точкой пересечением двух маршрутов и , а сам маршрут совпадает с осью Ох. Выбор такой системы координат не влияет на результат исследования.
Рис. 2.1 Представление пересекающихся маршрутов в декартовой системе координат.
Отклонение ВС от заданного маршрута составляет:
Тогда
; (2.8)
. (2.9)
Из (2.7), (2.8), (2.9) получим
. (2.10)
Обозначим
и
.
Тогда - количество возможных столкновений в точке А(х,у) и
(2.11)
При отсутствии УВД, самолеты выдерживают заданный курс с помощью бортового оборудования. Если ширина трассы равна d, то законы распределения боковых отклонений ВС от заданных трасс полета ?1 и ?2 является нормальными законами распределения с математическим ожиданием М=0 и средним квадратичным отклонением ?=d/6. Из приведенных расчетов получим:
(2.12)
На рис. 2.2 и 2.3 приведены графические изображения количества возможных столкновений ВС при разных значениях ?.
Рис. 2.2 Значения функции при (ВС/час), м, (км/час) и?
Рис. 2.3 Значения функции при (ВС/час), м, (км/час) и?
Функция достигает максимума в точке , т.е. точка О пересечения маршрутов является точкой наиболее вероятного конфликта. Величина чрезвычайно мала при или , поэтому для уменьшения объема вычисления значения N, можно принять формулу:
(2.13)
Графическое изображение значений N в зависимости от угла пересечения трасс ? при q1 = q2 = 10 сам/ч приведено на рис. 2.4.
Рис. 2.4 Зависимость числа столкновений N от угла пересечения трасс
Из рис. 2.4 видим, что N увеличивается при уменьшении ? и достигает минимума при . Следовательно, при построении маршрутов рекомендуемый угол между воздушными трассами должен составлять не менее . Для проверки точности результата анализа рекомендуется использовать метод моделирования.
Таким образом, рассмотрена методика оценки риска столкновений в определенной ограниченной размерами в плоскости зоне воздушного пространства. Оценивается не вероятность столкновения определенного ВС, проходящего эту зону, а количество возможных столкновений в зоне за время час. Если время наблюдения будет составлять величину час, как это принято в материалах ИКАО, то естественно, что число возможных столкновений будет значительно больше.
2.2. Моделирование риска столкновений воздушных судов методом Монте-Карло
В работах ряда авторов и в том числе в [76], разработана математическая модель определения риска столкновений воздушных судов на пересекающихся маршрутах. Эта модель является гомоморфной, с целью проверки ее адекватности создается имитационная модель Монте-Карло. Метод позволяет моделировать любой процесс, на развитие которого влияют случайные факторы. Моделирование Монте-Карло - широко используемый метод для вероятностного структурного анализа. С его помощью можно достичь двух целей:
- подтверждение аналитических методов;
- анализ больших, сложных систем, когда аналитические модели не выполнимы.
В связи с тем, что процесс отклонения от линии заданного пути является корреляционной функцией, а случайные числа, генерируемые в ЭВМ - не коррелированные, необходимо выполнить некоторые процедуры преобразования [42]. Примем, что процесс отклонения от линии заданного пути является стационарным, нормально распределенным процессом с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией . Заменим корреляционная функция связана со спектральной плотностью следующим образом:
(2.14)
Произведем факторизацию
(2.15)
(2.16)
(2.17)
Все полюсы и нули зависимости находятся левее мнимой оси. Передаточная функция формирующего фильтра принимает вид:
следует и
(2.18)
Из (2.16) и (2.18) получим:
(2.19)
Для преобразования Лапласа заменим на и на , после чего получим: