РОЗДІЛ 2
ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ЛІНЕАРИЗОВАНОЇ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ
МАТЕРІАЛІВ З ПОЧАТКОВИМИ НАПРУЖЕННЯМИ
В даному розділі коротко розглядаються основні співвідношення і рівняння
лінеаризованої теорії пружності тіл з початковими напруженнями. Приведені
загальні розв`язки лінеаризованих рівнянь у випадку однорідних початкових
напружень і пружних потенціалів різної структури для плоскої задачі. Розв`язки
представлені в загальному вигляді для стисливих та нестисливих тіл для рівних і
нерівних коренів визначального рівняння. Оскільки співвідношення та рівняння
лінеаризованої теорії пружності у різних авторів відрізняються по формі, при
розгляді вище вказаних питань використовуємо термінологію та результати
[30-38,42].
§2.1 Основні співвідношення лінеаризованої теорії пружності
Розглянемо основні принципи побудови лінеаризованої теорії. Застосуємо для
опису деформованого стану тіла підхід Лагранжа, тобто кожній точці тіла
поставимо у відповідність параметри - лагранжеві координати. Система координат
співпадає з декартовими координатами в недеформованому стані і вважається
супутньою. Розглядаємо три стани тіла. Перший - стан тіла з нульовими
початковими напруженнями і деформаціями (натуральний стан); другий - початковий
деформований стан, при якому в тілі присутні початкові напруження і деформації
(основний стан); третій - збурений. Величини, які відносяться до третього
стану, представимо у вигляді суми величин, що відносяться до другого стану і
збурень, причому збурення будемо рахувати малими величинами по відношенню до
величин основного стану. Виходячи з вище описаного припущення для опису
напружено-деформованого стану можна застосувати лінеаризовану теорію пружності
для тіл з початковими напруженнями. Співвідношення лінеаризованої теорії
пружності є результат строгої лінеаризованої нелінійної теорії скінчених
(величин) та декількох варіантів малих початкових деформацій [30-50].
Розглянемо співвідношення лінеаризованої теорії пружності для тіл з початковими
напруженнями в координатах початковими напруженнями в координатах початкового
деформованого стану при однорідних початкових напруженнях. Поряд з лагранжевими
координатами введемо декартові координати yi , які описують початковий
напружений стан. Зв`язок між цими координатами матиме вигляд:
(2.1.1)
де - початкові видовження вздовж координатних осей, які визначають переміщення
початкового стану:
. (2.1.2)
Позначимо через складові вздовж осі Оyi тензору напружень на площадці ; -
складові збурень поверхневого навантаження, яке діє на поверхню в збуреному
стані; - складові вздовж осі орту нормалі до поверхні тіла в початковому
деформованому стані ; Si - частина поверхні тіла в деформованому стані; - об`єм
тіла, і запишемо співвідношення лінеаризованої теорії пружності тіл з
початковими напруженнями в координатах yi . Тоді для стислих і нестислих тіл
мають місце наступні співвідношення
Рівняння рівноваги:
(2.1.3)
граничні умови в напруженнях для частини поверхні S1 :
(2.1.4)
граничні умови в переміщеннях на частині поверхні S2 :
(2.1.5)
де fi - збурення правих частин граничних умов в переміщеннях. Запишемо тепер
основні співвідношення для стисливих і нестисливих тіл окремо:
Стисливі тіла
Для стисливих тіл мають місце вирази для визначення напружень [36]:
. (2.1.6)
З (2.1.3-2.1.5) і (2.1.6) отримуємо формулювання лінеаризованої задачі теорії
пружності для тіл з початковими напруженнями, записаної в переміщеннях:
(2.1.7)
(2.1.8)
де складові тензору визначаються:
(2.1.9)
а також задовольняють умовам симетрії:
(2.1.10)
Нестисливі тіла
Вирази для визначення напружень представляються у вигляді співвідношень [36]:
(2.1.11)
умови нестисливості
. (2.1.12)
Таким чином, з (2.1.3)-(2.1.5) і (2.1.11-2.1.12) отримуємо формулювання задач
для нестисливих тіл в переміщеннях:
(2.1.13)
(2.1.14)
де складові тензору визначаються
; (2.1.15)
Скалярна функція , що входить в (2.1.14), зв`язана з гідростатичним
тиском.Позначивши
, (2.1.16)
формули (2.1.13), (2.1.14) можна записати аналогічно (2.1.7)
(2.1.17)
де позначено:
(2.1.18)
Крім того, умова нестисливості для однорідного початкового стану може бути
представлена в одному з видів:
(2.1.19)
(2.1.20)
(2.1.21)
Тоді складові тензору можна визначити скориставшись (2.1.9), заміною на з
урахуванням (2.1.19). Тензор також задовольняє умові
(2.1.22)
Складові тензору визначаються наступним виразом:
(2.1.23)
Вирази для визначення через пружний потенціал для стисливих та нестисливих тіл
приведені нижче. Відзначимо, що співвідношення (2.1.3-2.1.7) та (2.1.9-2.1.17)
справедливі для теорії скінчених (великих) початкових деформацій і декількох
варіантів теорій малих початкових деформацій. Вирази (2.1.8, 2.1.18) дано для
теорії скінчених початкових деформацій. Для розгляду співвідношень стосовно
теорії малих початкових деформацій, необхідно провести спрощення та
скористатися результатами роботи [34], інші варіанти - в роботі [47].
§2.2 Представлення загальних розв’язків плоских задач при
однорідних початкових напруженнях
Розглянемо побудову загальних розв`язків лінеа