РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИНФОРМАЦИОННЫХ
МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ОБЛАСТИ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ
2.1. Постановка задачи
Знание детального пространственного распределения поля в зоне дефекта намагниченного изделия - одна из главных задач диагностирования целостности материала осей колёсных пар. Расчёт полей рассеяния для различных типов нарушения сплошности с учётом их размеров (глубины, ширины раскрытия, длины), магнитных свойств материала и конфигурации изделия, в котором расположен дефект, представляет сложную физико-математическую задачу. Общий подход к решению дефектоскопических задач был предложен Янусом Р.И. [54]. Их решение сводится к определению вектора напряжённости магнитного поля путём решения нелинейной краевой задачи. Решению этой задачи посвящено множество теоретических исследований, в которых имелись различные оттенки идеализации. Упрощалась или форма дефекта, или условия намагниченности. Следует отметить математические модели, разработанные Аркадьевым В.К., Вонсовским С. В., Янусом Р.И., Зацепиным Н.Н, Горбуновым Э.К., Щербининым В.Е, Пашагиным А.И., Гринбергом Г.А., Бурцевым Г.А., Ферстером Ф.[40, 55-59]. Поле дефекта аппроксимировалось полем точечного ленточного диполя с постоянным значением или зарядов, или плотности зарядов на стенках ленточного диполя. Расстояние между зарядами (стенками) считалось постоянным и равным .
Для больших значений намагничивающего поля, при которых необходимо учитывать объёмные заряды, были представлены математические модели поля [60, 61] с использованием понятия трубок индукции. Были разработаны методы определения плотности поверхностных магнитных зарядов [62-64]. Наиболее часто для задач расчёта полей рассеяния используются линейные и ленточные диполи [65], теория которых разработана достаточно полно.
Однако методика расчёта полей рассеяния, которая бы одновременно учитывала и поверхностные, и объёмные заряды, и их нелинейную зависимость от намагничивающего поля в магнитной дефектоскопии только начинает разрабатываться. Эта методика базируется на нелинейных интегральных уравнениях. Вопросы расчетов электромагнитных полей методом интегральных уравнений в достаточно широкой постановке рассмотрены в работах: Гринберга Г.А. [66],
Тозони О.В. и Маергойза И.Д. [68, 69], Демирчяна К.С. и Чечурина В.Л. [67], Курбатова П.А. и Аринчина С.А. [70], Толмачева С.Т. [71], Пеккера И.И. и Кирсанова А.Г. [72]. Поэтому, в этой главе предлагаются модели полей рассеяния, разработанные автором, которые наряду с универсальностью обладают необходимой точностью и простотой алгоритмических расчётов.
Рассматриваются математические модели для следующего типа задач:
- дефект конечных геометрических размеров в сечении и бесконечной длины, расположенный на поверхности полупространства при однородном намагничивающемся поле (рис.2.1). В этом случае решается плоскопараллельная задача по расчёту поля;
- дефект конечных геометрических размеров, как в сечении, так и по длине, расположенный на поверхности полупространства при однородном намагничивающем поле (рис.2.2). В этом случае решается трёхмерная задача по расчёту поля;
- дефект конечных геометрических размеров (раковина), расположенный под поверхностью полупространства при однородном намагничивающем поле (рис.2.3).
2.2. Математическая модель магнитного поля дефекта
в плоскопараллельном поле
Эта математическая модель предназначена для расчёта магнитного поля рассеяния поперечных дефектов, длина которых считается бесконечной. При этом делается допущение, о том, что поверхность, на которой расположен дефект,
плоская.
В качестве основы для построения математической модели поля выбирается следующее интегральное уравнение в пространстве [73] рис.2.4
,(2.1)
где Q - точка наблюдения;
Р - точка источника поля, , ;
- вектор намагниченности;
- модуль вектора, проведенного из точки Р в точку Q;
- вектор напряженности намагничивающего поля;
S - площадь сечения участка ферромагнитного материала с дефектом.
Намагниченность М является функцией напряженности поля , которая является петлёй гистерезиса.
Если использовать соотношение ,
где , то (2.1) можно привести к такому виду:
(2.2)
где - нормаль вектора к границе области ;
Т - точка на границе области ;
- элемент контура .
Уравнение (2.2) можно непосредственно использовать для расчёта поля вектора намагниченности в нелинейной среде. Для этого площадь намагничиваемого материала разбивается на элементарные площадки (ЭП), в пределах каждой из них полагается и поэтому
.
Тогда интегральное уравнение (2.2) сводится к системе алгебраических уравнений
(2.3)
где - точка наблюдения поля;
- точка источника;
- единичный вектор, проведенный из точкив точку ;
- нормаль к контуру ЭП;
- число ЭП.
Необходимо учитывать, что уравнение (2.3) нелинейное, так как , и его ядро не имеет особенностей, потому что интегрирование осуществляется по контуру ЭП.
Использование (2.3) для расчёта поля в нелинейной среде вызовет необходимость рассматривать намагничиваемую область как сумму ЭП, в каждой из которых (рис.2.5).
Для численного расчёта поля с помощью (2.3) необходимо получить формулы, учитывающие особенности геометрии намагничиваемой области.
Рис. 2.4. К расчёту плоскопараллельного поля
Рис. 2.5. К расчёту поля в нелинейной среде путём решения интегрального
уравнения (2.2)
Запишем уравнение (2.3) в прямоугольной системе координат для одной ЭП:
(2.4)
Выбираем прямоугольные ЭП площадью (рис.2.5) и производим интегрирование по контуру - ой ЭП для определения напряжённости поля в центре ой ЭП.
(2.5)
(2.6)
С