РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ТЕРМОМАГНІТНИХ
ВИМІРЮВАНЬ ВМІСТУ КИСНЮ В ГАЗОВИХ СУМІШАХ
2.1. Теплофізична модель перетворень в термомагнітному полі
Розглянемо рух одиничного об’єму парамагнітного газу в ТМП, який створюється
системою постійних магнітів і ТА, розташованим у неоднорідному магнітному полі.
При цьому введемо припущення, що розглядуваний об’єм настільки малий, що його
можна вважати сукупністю молекул парамагнітного газу, яка в той же час зберігає
всі властивості газу.
Схема первинного вимірювального перетворювача з внутрішньою ТМК показана на
рис. 2.1.
Рис. 2.1. Схема первинного вимірювального перетворювача
ТМГ з внутрішньою ТМК:
1 – ТА;
2 – електронагрівач;
3 – максимальне ТМП;
4 – магнітна система
Рахуватимемо, що магнітна сприйнятливість некисневої частини газової суміші
незначна, якою можна знехтувати. Тоді рівняння (1.20) прийме
таку форму:
. (2.1)
Виходячи з рівняння (2.1), бачимо, що зусилля , яке створює термомагнітний
потік газу в трубці ТА, пропорційне концентрації кисню в газовій суміші та
залежить від тиску газу , а також від температур “холодного” і нагрітого газу.
З цього рівняння також випливає, що формально статична характеристика ТМГ
повинна бути лінійною, при умові, що зусилля створюватиме в трубці ТА
ламінарний газовий потік. Фактично статичні характеристики ТМГ мають суттєву
нелінійність, а це значить, що на результат вимірювання чинять вплив інші
явища, які викликані кінетичною дією молекул кисню, а також кінетичними течіями
в області високого температурного поля ТА.
З кінетичної теорії неоднорідних газів випливає, що при дії на молекули одного
роду якої-небудь зовнішньої сили, вони віддають частину своєї енергії молекулам
іншого роду газової суміші, збільшуючи їх швидкість у напрямку дії цієї сили.
Виходячи з цього, якщо на молекули кисню діє зовнішнє магнітне зусилля , то
вони при своєму русі в неоднорідному магнітному полі будуть стикатися з
молекулами некисневої частини газової суміші, віддаючи їм частину своєї
кінетичної енергії. Останні за рахунок цього теж почнуть рухатися в ТМП,
створюючи місцевий потік газу. Можна зробити висновок, що такий рух газу матиме
місце тільки в межах максимального ТМП на кордоні між “холодним” і нагрітим
газовим потоком в трубці ТА. Таке явище підчиняється кінетичній теорії
неоднорідних газів і може бути описане рівняннями Больцмана [73], одне з яких
відноситься до температури “холодної”, а друге – до температури “нагрітої”
некисневої частини газу:
; (2.2)
, (2.3)
де - час;
- функція залежна від швидкості газового потоку;
- зусилля, які діють на молекули некисневої частини газового потоку при
температурі і ;
- маси газу, які знаходяться при температурі і відповідно; - функції
розподілення Максвела;
- внутрішній радіус трубки ТА;
- функції, які залежні від взаємних зіткнень молекул при температурі і
відповідно;
- функції, які залежні від перехресних зіткнень молекул.
У явному вигляді систему рівнянь (2.2) і (2.3) розв’язати не можна. Для
наближеного розв’язку цієї системи використаємо метод нульового градієнта [74].
Трубку ТА представимо як об’єкт (рис. 2.2), на вході якого є газовий потік,
створюваний неоднорідним магнітним полем тільки при наявності в газовій суміші
молекул кисню. Цей потік має температуру , парціальну густину некисневої
частини газу і масову швидкість (якщо молекули кисню в газовій суміші відсутні,
то приймаємо, що газовий потік всередині трубки відсутній). Цей потік газу далі
попадає в максимальне ТМП, нагрівається до температури, при якій магнітні
властивості кисню суттєво зменшуються, і викидається з цього поля холодним
газом що потрапляє.
Приймемо, що область максимального ТМП представляє собою деяку - функцію
Дірака. Тоді лінія буде лінією розділу двох фаз: холодної з температурою і
густиною та нагрітої з температурою і густиною . Тоді для границі розділу
функція розподілення Максвела , а різниця рівнянь (2.2) і (2.3) описуватиме
процеси, які проходять в максимальному ТМП.
Рис. 2.2. Фізична модель перетворень в ТМП
Тоді
. (2.4)
Враховуючи, що маси газу при температурі і однакові, тобто , а , де - зусилля
створюване “холодною” та нагрітою частинами газу відповідно, одержуємо:
. (2.5)
Так як функції, які залежать від взаємних і перехресних зіткнень молекул,
створюють рух газового потоку, тобто його масову швидкість, то позначивши і , а
також , де - функція для одиничної швидкості некисневої частини газової суміші,
яка обумовлена кінетичною дією молекул кисню і має розмірність , рівняння (2.5)
приймає таку форму:
. (2.6)
Для границі розділу двох фаз запишемо умову переходу в такому вигляді [73]:
, (2.7)
де - середнє значення лінійної швидкості газового потоку;
- постійна Больцмана;
- середня температура газу в трубці ТА;
- внутрішній діаметр трубки ТА;
- динамічна в’язкість некисневої частини газу;
- парціальні густини некисневої частини газу при температурі і ;
- середнє значення густини некисневої частини газу.
Так як ліва частина рівняння (2.7) представляє собою масову швидкість газового
потоку, то, аналізуючи рівняння (2.6) і (2.7), приходимо до висновку, що для
границі розділу фаз холодного і нагрітого газу функція
. (2.8)
де - коефіцієнт, який характеризує вплив некисневої частини газу на
термомагнітний потік кисню.
З урахуванням (2.8), рівняння (2.6) приймає таку форму:
- Київ+380960830922