Методи інтерполяції функцій двох змінних

РОЗДІЛ 2
ДОСЛІДЖЕННЯ ТА РОЗШИРЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ
ДЛЯ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ ФУНКЦІЙ ДВОХ ЗМІННИХ
КЛАСИЧНИМИ МЕТОДАМИ
Як було розглянуто в попередньому розділі дисертації, на даний час методи
інтерполяції функції двох змінних досліджені недостатньо глибоко, саме тому
актуальним є дослідження існуючих методів, створення їх спрощених моделей та
розширення моделей для інтерполяції, які розроблені тільки для функції однієї
змінної [32, 40, 42, 44].
На даний момент існує математична модель тільки для інтерполяції функції двох
змінних методом Ньютона [32].
2.1. Інтерполяція методом Ньютона для функцій двох змінних та її поширення для
різних типів різниць
2.1.1. Дослідження існуючої моделі методу Ньютона для функції двох змінних
Існуюча модель інтерполяції методом Ньютона [32, 44] використовує подвійні
різниці вищих порядків, де
(2.1)
- часткові різниці вищих порядків.
Загальна формула подвійних різниць вищих порядків має вигляд [32]:
(2.2)
Перша інтерполяційна формула Ньютона з використанням подвійних різниць, як було
приведено в розділі 1, має наступний вигляд:
(2.3)
чи
(2.4)
де , .
З огляду формули очевидно, що використання першої інтерполяційної формули
Ньютона вимагає велику кількість обчислювальних операцій. І завдяки складності
розрахунків, вона достатньо рідко застосовується при розв’язку задач з
застосуванням інтерполяції. В даній роботі пропонується модифікований метод
Ньютона для функції двох змінних, який використовує прості різниці, але для
цього необхідний чіткий порядок точок.
При постановці задачі інтерполяції задаються множини відомих точок , де
змінюється з кроком , а з кроком .
Порядок точок при застосуванні модифікованого методу Ньютона наступний:
Точки розміщуються по мірі зростання кореня суми квадратів значень та . Для
цього вводиться позначення , значення якого розраховується за формулою:
(2.5)
Якщо для деякої множини точок дорівнює однаковому числу, тоді точки
розміщуються за наступною послідовністю:
при , де та - індекси множин точок, при яких однакове, за зростанням .
при та - за зростанням ;
при та - за зростанням .
Згідно з приведеним вище, точки будуть переписуватися у новій послідовності. І
при використанні методів інтерполяції для різних типів різниць будуть
використовуватися прості різниці:
- праві різниці;
- ліві різниці;
- праві різниці.
відповідно кінцеві різниці вищих порядків будуть розраховуватися за формулою:
(2.6)
2.1.2. Модифікований метод Ньютона для функцій двох змінних
Нехай для функції задані значення для рівновіддалених значень незалежних
змінних та , де (), де - крок інтерполювання.
При використанні поліноміальних методів, згідно з постановкою інтерполяції
формули Ньютона [32, 40, 42], необхідно підібрати поліном ступеня не вище ,
який у точках () приймає конкретні значення .
Будемо шукати поліном у вигляді:
(2.7)
Введемо означення узагальненого ступеня для функцій двох змінних:
Узагальненим ступенем числа будемо називати додаток множників, перший з яких
дорівнює а кожний з наступних на менше попереднього [32]. Відповідно
узагальненим ступенем числа будемо називати додаток множників, перший з яких
дорівнює а кожний з наступних на менше попереднього:
(2.8)
Показник узагальненого ступеня звичайно записується у квадратних дужках.
Вважають, що та .
Визначимо кінцеві різниці для узагальненого ступеня, вважаючи, що та . Тоді для
першої різниці отримаємо:
Відповідно для різниці n -го порядку отримаємо:
Розглянемо кожний з множників окремо:
тобто .
(2.9)
при , формула (2.9) набуде наступного вигляду:
Розрахуємо другу різницю:
тобто .
(2.10)
Застосовуючи метод математичної індукції, отримаємо:
(2.11)
де .
Відповідно, при та
при .
Користуючись узагальненим ступенем (2.8), вираз (2.7) запишемо у наступному
вигляді:
(2.12)
Тобто функція запишеться у вигляді узагальненого багаточлена:
(2.13)
де - деяка система функцій, лінійно незалежна на ;
- дійсні коефіцієнти.
Визначимо коефіцієнти () полінома . Вважаючи, що , , з виразу (2.12) отримаємо
.
Складемо першу кінцеву різницю для знаходження коефіцієнта , (використовуючи
2.9):
Вважаючи, що , , отримаємо:
звідки .
Складемо кінцеву різницю другого порядку для визначення коефіцієнту :
Вважаючи, що , , отримаємо:
звідки .
Послідовно повторюючи та використовуючи метод математичної індукції, отримаємо:
(2.14)
де ;
, - кроки інтерполяції відповідно для та y, , та - одиничні вектори, які
задають напрямок.
Зауважимо, що та .
Підставляючи отримані значення в (2.12), отримаємо:
(2.15)
Припустимо, що , , ... - різних чисел, що приймають різні значення в просторі .
Існує єдиний поліном ступеня не більше ніж , який має наступну властивість:
, для .
Форма Ньютона для даного поліному має вигляд:
(2.16)
де , для .
Введемо змінні та які відповідно дорівнюють , тоді:
(2.17)
де .
Формула (2.15) набуде наступного вигляду:
(2.18)
де - число кроків, які необхідні для досягнення точки , виходячи з точки .
- число кроків, які необхідні для досягнення точки y, виходячи з точки .
При , отримаємо формулу лінійного інтерполювання:
(2.19)
При , отримаємо формулу параболічного чи квадратного інтерполювання:
(2.20)
Складемо таблиці різниць для функції .
. . .
Використовуючи основні властивості оператора [32], з першої нерівності маємо:
Звідки маємо:
. . .
Використовуючи формулу бінома Ньютона [32], отримаємо:
Зворотньо, отримаємо:
(2.21)
чи
(2.22)
тобто,
і т.д.
Зауважимо, що для обчислення -ї різниці потрібно знати членів , , ..., даної
послідовності.
2.1.3. Узагальнення модифікацій формули Ньютона для функцій двох змінних на
випадок викорис