ГЛАВА 2
ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ МЕРУ
§2.1. Отображения полупространства с условием сохранения меры
Пусть , – открытые подмножества . Обозначим – множество всех гомеоморфизмов с
()-свойством. Пусть также – множество гомеоморфизмов , отображающих на . Кроме
того, пусть – множество всех непрерывно дифференцируемых отображений . Символом
обозначается якобиан отображения в точке . Для измеримого по Лебегу множества
обозначим его меру Лебега. Как обычно, для и обозначим . Если – гомеоморфизм,
то для почти всех существует конечный предел
который называется объёмной производной отображения в точке . При этом (см.,
например, [75, гл. 1, §5]). Более того, если , то переводит всякое измеримое
множество в измеримое множество и
(2.1.1)
(см., напр., [75]). Отметим также, что если , то для всех . Пусть
, (напомним, что обозначает функцию Бесселя первого рода порядка ). Положим , .
Кроме того, как обычно, – индикатор множества .
Следующий результат содержит достаточные условия, при которых отображение ,
сохраняющее меру шаров фиксированного радиуса, будет сохранять меру любого
измеримого подмножества из .
ТЕОРЕМА 2.1.1. Пусть отображение удовлетворяет следующим условиям:
1) для всех ;
2) существует положительное такое, что
(2.1.2)
при любом .
Тогда для любого измеримого множества .
Доказательство. С учетом формулы (2.1.1) условие 1) теоремы 2.1.1 примет вид
для любого . (2.1.3)
Заметим, что
, (2.1.4)
где .
Значит, в силу (2.1.3), функция принадлежит . Кроме того, из (2.1.2) и (2.1.4)
следует, что удовлетворяет (1.1.1). Следовательно, по теореме 1.1.1 на . Это
означает, что при . Так как , по теореме о двух радиусах (см. [12]) . Отсюда
получаем, что для любого измеримого и ограниченного из .
Следующий результат показывает, что условия теоремы 2.1.1 не могут быть
ослаблены.
ТЕОРЕМА 2.1.2. Имеют место следующие утверждения:
1) для любого и любого существует биективное отображение такое, что , для любых
, и для некоторого шара выполнено .
2) для любого и для любого существует биективное отображение такое, что
выполнено (2.1.2) и
, (2.1.5)
и для некоторого шара справедливо неравенство .
Доказательство. Для доказательства утверждения 1) рассмотрим отображение , где
и , . Воспользуемся известным равенством (см., например, [73, гл.4, теорема
4.15])
Тогда функция
удовлетворяет условию (2.1.3) и выражение (2.1.4) равно нулю. Следовательно,
отображение сохраняет меру единичных шаров и шаров радиуса , поскольку .
Докажем теперь, что является инъективным, т.е. для любых из . Здесь возможны
два случая. Первый, когда , и . В этом случае имеем , откуда . Второй, когда ,
. В этом случае в силу монотонности по , поскольку . Таким образом,
инъективность отображения доказана. Поскольку сюрьективно (это очевидно из его
определения), отсюда имеем биективность . Далее, так как функция непрерывна и
не тождественный ноль, то существует некоторая окрестность , в которой она
сохраняет знак. Если в , то и для произвольного шара . Если в , аналогично
имеем .
Перейдем к доказательству утверждения 2). Положим , где – вещественная часть
функции построенной во второй части теоремы 1.1.1 и при . По построению при
любых , и некотором имеет место оценка
Тогда, если принадлежит сфере радиуса с центром в точке , то есть , где , то
справедливо неравенство
. (2.1.6)
Оно следует из того, что функция при , является ограниченной. Отображение
удовлетворяет условию (2.1.2). Действительно, с учетом (2.1.4) и (2.1.6) по
формуле Гаусса-Остроградского получаем
где – элемент площади на сфере . Кроме того, удовлетворяет условию (2.1.5),
которое в силу (2.1.4) приобретает вид . Это равенство справедливо в силу того,
что .
Поскольку функция непрерывна и не равна тождественно нулю, аналогично
доказательству 1) получаем, что в содержится шар радиуса , для которого .
Биективность отображения доказывается аналогично случаю 1), при этом заметим,
что в силу выбора .
Таким образом, теорема 2.1.2 доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда условие (2.1.2) в теореме 2.1.1 существенно
ослабляется, но при этом добавляются дополнительные условия на убывание
величины по переменным .
ТЕОРЕМА 2.1.3. Пусть отображение удовлетворяет следующим условиям:
1) ;
2) существует положительное такое, что для почти всех и всех
и, кроме того,
3) для указанного в условии 2) числа выполнено
Тогда для любого измеримого множества .
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 2.1.1 из (2.1.1) и (2.1.3)
следует, что функция принадлежит .
Кроме того, из условий 2) и 3) этой теоремы с учетом (2.1.4) следует, что
удовлетворяет условиям а) и б) теоремы 1.1.2. Значит на и поэтому для любого
измеримого множества .
Следующий результат показывает, что условия теоремы 2.1.3 также не могут быть
ослаблены.
ТЕОРЕМА 2.1.4. Для любого и любой последовательности положительных чисел такой,
что
(2.1.7)
существует биективное отображение с отличным от нуля якобианом, для которого
выполнены условия 1) и 3) теоремы 2.1.3 и
(2.1.8)
для любого . При этом для некоторого шара выполнено .
Доказательство. Пусть и удовлетворяет (2.1.7). Тогда последовательность также
удовлетворяет (2.1.7) и для нее по теореме 1.1.2 существует функция ,
удовлетворяющая (1.1.29) и
(2.1.9)
при всех , .
Функция также принадлежит и удовлетворяет (2.1.9). При этом для всех .
Рассмотрим отображение , где . Оно удовлетворяет (2.1.8). Действительно,
используя (2.1.4), имеем
, (2.1.10)
где для любых ,. Используя
- Київ+380960830922