розділ 2
ОСНОВНІ рівняння плоскої задачі ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ ТОНКИХ ПЛАСТИН З
КРИВОЛІНІЙНИМИ ОТВОРАМИ
У розділі систематизовано основні співвідношення плоскої задачі теорії
пружності для нескінченних ізотропних пластин з гладкими криволінійними
отворами та нескінченних ортотропних пластин з еліптичними отворами, які
перебувають в умовах узагальненого плоского напруженого стану. Компоненти
тензора деформації контурних точок подано інтегральними співвідношеннями з
ядрами Гільберта через компоненти тензора напружень [51, 85, 87, 97]. Вони
дають можливість формулювати граничні умови задач для контактних напружень в
зоні підсилення контура отвору тонкими пружними елементами. Аналогічні
інтегральні співвідношення на підставі [40, 96] записано для компонент вектора
зміщення точок контура отвору.
Побудовано інтегральний варіант граничних умов задачі про часткове підсилення
криволінійного контура в нескінченній пластинці тонким пружним брусом, лінія
спаю якого з пластинкою не співпадає з геометричною віссю. Розглянуто часткові
випадки задачі, коли підсилення моделюється пружною лінією, наділеною
жорсткостями на розтяг (стиск) і згин або пружною лінією з нульовою жорсткістю
на згин.
Записано диференціальний варіант граничних умов задачі про часткове підсилення
криволінійного контура в плаcтинці тонким пружним стрижнем змінної жорсткості
на розтяг (стиск). Встановлено структуру нормальних зусиль на торцях зони
підсилення.
2.1. Ізотропна пластинка з криволінійним отвором
Припустимо, що криволінійний отвір нескінченної ізотропної пластинки товщиною
обмежений гладким контуром у вигляді правильного -кутника із закругленими
кутами (гіпотрохоїди). Сумістимо із серединною площиною пластинки комплексну
площину . Cистему прямокутних і полярних координат оберемо таким чином, щоб
початок відліку співпадав з центром отвору, а полярна вісь співавдала з віссю
абсцис.
Нехай раціональна функція [60]
(2.1)
здійснює конформне відображення зовнішності одиничного кола () в площині на
область, яку займає пластинка в комплексній площині . Тут – характерний розмір
отвору (не обмежуючи загальності, вважаємо ); ; – параметр, який визначає
відхилення форми многокутника від кола. При , функція (2.1) реалізує конформне
відображення зовнішності еліпса в площині на зовнішність ; при , – зовнішності
трикутника із закругленими кутами.
Нехай до контура або його частини прикладено нормальні та дотичні зусилля (рис.
2.1), де , – полярні кути торців ділянки .
Напружений стан на нескінченності обмежений і зводиться до рівномірно
розподілених зусиль, що діють вздовж координатних осей.
Рис. 2.1. Схема навантаження пластинки
Компоненти тензора деформації при заданому навантаженні визначаються
співвідношеннями [85, 97]
; (2.2)
Тут введено позначення
; ;
; ; ; (2.3)
– відносна осьова пружна деформація контура отвору; – кут пружного повороту
нормалі до нього; – дуга на контурі ; , – нормальна та дотична складові вектора
зміщення контурних точок; – кут між нормаллю до контура і віссю ; , – модуль
Юнга і коефіцієнт Пуассона матеріалу пластинки; , – величини, що залежать від
зовнішнього навантаження на пластинку. У випадку, коли на нескінченності
пластинка розтягується рівномірно розподіленими зусиллями і , що діють в
напрямках координатних осей , відповідно, їх можна подати у вигляді
, (2.4)
де ;
; – головний вектор зусиль, прикладених до .
Компоненти напружено-деформованого стану на контурі отвору через величини , , ,
визначаються за формулами [51, 87]
; ; ; . (2.5)
Тут введено позначення , ; .
Кільцеві зусилля на контурі отвору знаходимо із співвідношення [51, 85]
. (2.6)
Компоненти вектора зміщення контурних точок з точністю до жорсткого зміщення
визначаються за формулами [40]
, (2.7)
де , , – образи торців , при відображенні (2.1).
Якщо в (2.2) – (2.7) покласти , то одержимо відомі [96] залежності для
пластинки з круговим отвором.
2.2. Ортотропна пластинка з еліптичним отвором
Нехай до частини контура еліптичного отвору в нескінченній ортотропній
пластинці товщиною прикладені зусилля , . Припустимо, що головні напрямки
ортотропії співпадають з напрямками координатних осей і осей еліпса.
Напружений стан на нескінченності задається рівномірно розподіленими зусиллями
і , що діють вздовж координатних осей. Конформне відображення області в площині
на область, яку займає пластинка в комплексній площині , здійснюється за
допомогою функції [44, 45]
, (2.8)
де ; ; , – півосі еліпса, , .
Деформації контура отвору визначаються із співвідношень [50]
; (2.9)
.
Тут позначено
; ;
; ; (2.10)
; ;
; ;
, – модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона матеріалу пластини в напрямку осі ; , –
корені характеристичного рівняння [44].
Кільцеві зусилля на визначаються за формулою [90]
, (2.11)
де ;
; ; ; ;
; (2.12)
; ;
; ; .
Компоненти вектора зміщення контурних точок, з точністю до жорсткого зміщення
пластинки, можна визначити за формулами [40]
. (2.13)
У співвідношеннях (2.9) – (2.13) здійснено граничний перехід від ортотропного
матеріалу до ізотропного при . Якщо покласти , то з (2.8) – (2.13) отримаємо
співвідношення для ортотропної пластинки з круговим отвором.
2.3. Граничні умови задачі про часткове підсилення
криволінійного контура в пластинці
2.3.1. Інтегральний варіант граничних умов. Розглянемо нескінченну пластинку з
симетричним відносно осі абсцис криволінійним отвором (2.1), контур якого на
ділянці підсилений тонким пружним елементом змінної жорсткості. Зовнішнє
навантаження на пластинку задається рівномірно розподіленими зусиллями і , що
діють в напрямках координатних о