РОЗДІЛ 2
ДВОХПАРАМЕТРИЧНА ПАРАМЕТРИЗАЦІЯ ВЕРТИКАЛЬНОЇ ТУРБУЛЕНТНОЇ ДИФУЗІЇ
2.1. Загальне формулювання задачі для лагранжевої моделі дифузії аеродисперсної
системи
Проблеми, які розв’язує наука „Атмосферна турбулентна дифузія” можна розглядати
як частковий випадок більш загальної задачі про еволюцію аеродисперсної
системи.
Найбільш повним, послідовним і строгим з фізичної точки зору підходом до
моделювання еволюції аерозольної системи можна вважати лагранжевий підхід, при
якому спостереження ведеться за рухом кожної із аерозольних частинок. В цьому
випадку, на початковому етапі моделювання зберігається “індивідуальність”
кожної частинки колективу. Якщо б ми змогли зберегти цю “індивідуальність” до
кінцевого етапу, то мали б повну, вичерпну інформацію про еволюцію аерозольної
системи, в тому числі – інформацію про всю тонку структуру розподілу
концентрації аерозольних частинок.
Розглянемо колектив аерозольних частинок. Стан кожної частинки в деякий момент
часу визначається набором узагальнених координат ( – положення в фізичному
просторі її центру тяжіння (радіус-вектор); – орієнтація аерозолю в фізичному
просторі; r – розмір частинки, або “координата” в одномірному просторі
розмірів; Щ – форма; q – заряд; тощо) і узагальнених швидкостей ( – поступальна
швидкість; – швидкість обертання; – “швидкість” в просторі розмірів; тощо)
[21]. Для компактнішого запису набір параметрів r, Щ, q,… можна вважати
компонентами деякого вектора . Тоді сукупність векторів , , можна розглядати як
компоненти узагальненого вектора (узагальненої координати), а вектори – як
компоненти узагальненої швидкості .
Сукупність множин, елементами яких є, відповідно, всі можливі значення кожної
компоненти векторів і всіх частинок аерозольної системи, утворюють узагальнений
фазовий простір . Якщо узагальнена координата кожної частинки складається із m
компонент і всіх частинок в системі є N, то простір буде 2mN – мірним.
Мікрофізичний стан диспергованої фази, в деякий момент часу t, визначається
фіксованим набором всіх параметрів всіх частинок, і в фазовому просторі цей
стан представляється однією точкою, яку називають зображаючою. При неперервній
зміні мікрофізичного стану з часом зображаюча точка в розширеному фазовому
просторі утворює деяку динамічну траєкторію. Диференціальні рівняння, які
описують цю траєкторію, в самому загальному випадку мають вигляд:
, (2.1)
де – узагальнена координата і швидкість i-тої частинки.
Отже, найбільш повна інформація про еволюцію дисперсної системи, яка
складається із N взаємодіючих частинок, міститься в рівняннях (2.1).
Число рівнянь в системі (2.1) рівне добутку числа частинок в системі на
кількість компонент векторів і .
Для розв’язання більшості задач турбулентної дифузії, стан кожної аерозольної
частинки в момент часу t можна задавати, використовуючи лише радіус-вектор
частинки і її поступальну швидкість , тобто , . Слід зауважити, що розглядаючи
тільки вектори і , ми, в цьому випадку, не враховуємо ні коагуляцію, яка
проходить в аерозольних дисперсних системах, ні конденсаційний ріст окремих
частинок. Крім того, отримані на цій основі результати, можна трактувати як
турбулентну дифузію монодисперсних систем.
Таким чином, в задачах турбулентної дифузії всю мікрофізичну інформацію про
стан дисперсної системи визначають із рівнянь:
, (2.2)
де – радіус-вектор i-тої аерозольної частинки,
– її поступальна швидкість,
– діюча на i-ту частинку сила, віднесена до її маси.
В загальному випадку, ця сила рівна сумі зовнішньої сили і сили, яка
характеризує дію інших частинок системи на i-ту частинку. Слід зауважити, що в
більшості задач турбулентної дифузії в якості зовнішньої сили розглядають лише
гравітаційну силу і силу, з якою на частинку діє турбулентне гідродинамічне
поле, в якому частинка рухається. Таким чином, ми не враховуємо багатьох
факторів, наприклад пов’язаних з тепловою дією середовища чи нестаціонарністю
гідродинамічного поля.
Для повного і однозначного визначення положення (або стану) системи в довільний
момент часу, повинні бути точно (не статистично) задані і, крім того, треба
задати 6N початкових умов:
, . (2.3)
Схожа задача розглядається в статистичній механіці при описуванні динаміки
механічних систем, які складаються з великої кількості молекул газу в об’ємі
макроскопічних розмірів. Для кращого розуміння проблеми турбулентної дифузії,
буде корисним розглянути загальну схему побудови теорії в статистичній механіці
[8,54,74].
Розглядаючи, в найпростішому випадку, одноатомний газ, який складається із N
однакових молекул, динаміку цієї системи теж описують системою рівнянь (2.2) з
початковими умовами (2.3). Звичайно, у випадку коли розглядається система
молекул, сила буде мати дещо інший зміст. Цілком очевидно, що розв’язати
вказану початкову задачу, для реальної за порядком величини кількості молекул –
неможливо. По-перше, приведена вище система (2.2) складається із 6N
диференціальних рівнянь, які взаємопов’язані між собою, оскільки – функції
радіус-векторів всіх інших частинок (j = 1,…,N). Взагалі-то, цю трудність, з
подальшим прогресом обчислювальної техніки, можна буде, напевне, розв’язати.
Але існують ще інші – принципові – трудності.
Вже згадувалося, що для повного визначення стану системи в деякий момент часу t
потрібно задати 6N початкових значень . Отримання цих даних представляється
неможливим в принципі: для цього потрібно було б одночасно виміряти положення і
швидкість N частинок (молекул), причому без суттєвої зміни їх стану, зокрема
без ізоляції одніє
- Київ+380960830922