РОЗДІЛ 2
ЕВОЛЮЦІЙНІ СУТТЄВО НЕСКІНЧЕННОВИМІРНІ РІВНЯННЯ НА ПОВЕРХНЯХ. ЕВОЛЮЦІЙНЕ СУТТЄВО НЕСКІНЧЕННОВИМІРНЕ РІВНЯННЯ З УСКЛАДНЕНОЮ ПРАВОЮ ЧАСТИНОЮ НА ЛІНІЙНОМУ ПРОСТОРІ
В цьому розділі досліджується задача Коші для рівняння
(2.1)
у якому функція визначена на , де - поверхня у сепарабельному нескінченновимірному дійсному гільбертовому просторі .
Поверхня визначається як перетин поверхонь рівня скінченного набору функцій, які задані на . Завдяки тому що, поверхня має скінченну корозмірність, існує можливість коректно запровадити поняття суттєво нескінченновимірного оператора у деякому нормованому просторі функцій на поверхні . Означення суттєво нескінченновимірного оператора для функцій на поверхнях, яким будемо систематично користуватися в цьому розділі, належить Ю.В. Богданському (див. [5]).
Як буде з'ясовано нижче, дослідження задачі Коші для рівняння (2.1) на поверхні щільно пов'язане з дослідженням задачі Коші для рівняння
(2.2)
у гільбертовому просторі , де - однопараметрична сім'я векторних полів. В підрозділі 2.2 буде знайдено розв'язок задачі Коші для цього рівняння.
Належним чином побудоване у просторі нестаціонарне векторне поле дає можливість встановити між еволюційними сім'ями рівнянь (2.1) та (2.2)
наступний зв'язок: де - еволюційна сім'я рівняння (2.1), а - еволюційна сім'я рівняння (2.2). В наведеній формулі - це оператор "обмеження". Він ставить у відповідь кожній функції з простору її обмеження на поверхню . - це оператор продовження. Він реалізує продовження функції з до функції, що визначена на всьому просторі . Відзначимо, що це продовження може бути досить довільним і лише підлягає умовам: ; . Специфіка класів функцій, що розглядаються, вимагає розглянути питання про коректність операторів та . Це питання вирішується в [5].
Розвинута в першому розділі роботи техніка дозволила в підрозділі 2.5 дисертації побудувати розв'язок задачі Коші для ускладненого рівняння
, (2.3)
де - векторне поле на просторі класу , а - функція певного класу, що залежить як від часу так і від просторової змінної. В підрозділі 2.5 доведено єдиність побудованого розв'язку, а також встановлено деякі його важливі властивості.
2.1. Допустимі поверхні у гільбертовому просторі. Суттєво нескінченновимірні оператори на допустимих поверхнях
Всі означення та твердження підрозділу 2.1, які стосуються класів допустимих поверхонь та векторних полів на таких поверхнях належать Ю.В. Богданському.
Нехай - нескінченновимірний сепарабельний дійсний гільбертів простір.
Означення 2.1. Згідно з [5] обмежену поверхню S скінченої корозмірності в просторі , що реалізована як поверхня спільного рівня набору функцій , а саме поверхню S таку, що будемо називати допустимою класу , якщо
1.) функції gk ? мають обмежений носій ;
2.) рівномірно неперервні;
3.) визначник Грама задовольняє наступну нерівність:
З рівномірної неперервності функцій випливає існування ? - околу S? поверхні S в H, у якому виконується нерівність
В будь-якій точці нормальна до S гіперплощина має розмірність m та породжується системою векторів . Вкладення індукує на S ріманову метрику. Нехай - відповідна зв'язність Леві-Чивіти. Вкладення в дотичного до S у точці простору дозволяє природним чином ототожнити з підпростором скінченої корозмірності в . Розклад в ортогональну суму ставить у відповідь кожному самоспряженому обмеженому оператору А в оператор А?0, який діє вже у просторі Н. Якщо ж - двічі неперервно диференційовна функція на , наведені міркування дозволяють співставити її другому коваріантному диференціалу ?2u(x) в точці оператор в Цей оператор також будемо позначати як ?2u(x).
Нехай u - функція, що задана на поверхні S. Будемо казати, що , якщо друга похідна u існує та неперервна відносно індукованої вкладенням S в H метрики. Позначимо через клас двічі диференційов-них функцій на S, для яких - рівномірно неперервна на S операторно-значна функція. Взагалі - клас k раз диференційовних в D функцій, для яких старша похідна рівномірно неперервна щодо індукованої вкладенням D в Н метрики.
Тепер можемо дати декілька означень.
Означення 2.2. Згідно з [5] будемо казати, що функція належить класу A(S), якщо та існує така майже компактна множина M, що для всіх : ?2u(x)? M.
В [5] помічено, що A(S) є підалгеброю в . Замикання A(S) в за нормою рівномірної збіжності позначимо через X(S). В [5] доведено, що мають місце такі властивості:
Нехай тепер G - обмежена відкрита множина в Н.
Означення 2.3. Будемо казати, що функція належить класу , якщо
1.)
2.) - рівномірно неперервна в G;
3.) існує така майже компактна множина , що для всіх : .
Означення 2.4. Функція u належить класу , якщо та існує така майже компактна множина , що для будь-якого h з функція належить класу і при цьому для всіх .
Наступне означення є основним для подальшого, оскільки в рівнянні (2.1) поверхню будемо вважати саме поверхнею класу .
Означення 2.5. Допустима поверхня S класу називається поверхнею класу , якщо існує окіл поверхні S, у якому S виділяється умовами:
; ;
Є декілька важливих підстав для впровадження поверхонь класу . По-перше, якщо S - поверхня класу , то визначено обмежений лінійний оператор , що ставить у відповідність функції функцію , при цьому . Цей результат був отриманий в [5]. Крім того в [5] побудовано обмежений лінійний оператор , що для нього та . При цьому . Другою серйозною підставою для того, щоб весь подальший розгляд проводити саме для поверхонь класу , є специфічний вигляд, який мають на цих поверхнях суттєво нескінченно вимірні оператори.
Нехай - довільний додатний суттєво нескінченновимірний функціо-нал. Введемо в розгляд наступний диференціальний вираз другого порядку: