РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИКИ
ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СТАЛЕПЛАВИЛЬНОЙ ВАННЕ
Автоматизация проектирования (расчета) технологического процесса выплавки стали требует строгой его математической формализации. Существует два подхода к математическому описанию (моделированию) процессов: кинетический и термодинамический. Первые попытки описания процессов в металлургии (А.А. Байков, В.Е. Грум-Гржимайло, М.М.Карнаухов и др.) основывались на термодинамическом подходе. Затем акцент был перенесён на развитие кинетического подхода (Н.Н.Семёнов, О.А. Есин, В.И. Явойский, М.Я. Меджибожский и др.). Новый импульс в развитие металлургической термодинамики, внесённый работами В.А. Кожеурова и его школы, а так же появление современной ВТ, в последние годы привело к определённой "инвентаризации" арсенала теоретических средств математического моделирования реальных процессов. Наметился путь рационального сочетания термодинамического и статистического методов. Развитию такого подхода, который мы называем динамическим, и его практической реализации в промышленных системах управления плавкой посвящена настоящая работа.
В качестве основы математического описания (модели) физико-химических процессов в сталеплавильной ванне принята детерминированная термодинамическая модель ОРАКУЛ [95], представляющая собой последовательную реализацию метода Гиббса. Этот метод позволяет избежать излишних предположений относительно форм существования компонентов в конденсированных фазах, "вероятных" реакций и их механизма. Очевидно, что никакая теоретическая модель не может точно описать реальный процесс и для адекватного (т.е. достаточно точного с точки зрения решаемой задачи) его моделирования должна включать эмпирические "привязочные" коэффициенты. Общность модели, её простота и "универсальность" определяется числом таких коэффициентов. При большом их числе модель фактически превращается в чисто статистическую, сохраняя лишь видимость теоретической.
Математически корректное сочетание термодинамического и кинетического аспектов в динамической модели, необходимое для описания процессов в открытых системах, достигается путём разделения переменных, определяющих траекторию процесса на два вектора:
,
где - скорость изменения величины; - время; - вектор состояний объекта, описывающий траекторию процесса; - вектор управлений - материальные потоки, вызывающие переход системы из одного состояния в другое в процессе управления.
Используя в качестве вектора состояний термодинамических переменных (выражение ), т.е. рассматривая физико-химическую систему металл-шлак-газ, находящуюся в сталеплавильном агрегате, как объект управления, можно получить строгое описание динамки реального процесса.
Очевидно, что реальные процессы всегда в той или иной мере не равновесны, и характеризуются целым комплексом одновременно протекающих взаимосвязанных реакций. Управляющие потоки, как правило, разрывные и дискретные (рис. 1.3). Расчленение сталеплавильного процесса на непрерывные стадии, необходимые для кинетического описания, представляет значительные трудности. Вместе с тем, численные методы решения уравнений, описывающих траекторию процесса, не требуют такого деления.
При описании динамики процесса с произвольным характером управляющих воздействий каждый шаг численного интегрирования по времени уравнения распадается на две части. Сначала на отрезке времени система металл-шлак-газ считается открытой для внешних воздействий (управлений ), затем система закрывается и самопроизвольно релаксирует к новому состоянию равновесия. В общем случае, если система, находившаяся в равновесии (рис. 2.1), подверглась в некоторый момент времени импульсному воздействию , то в ней начнется самопроизвольный процесс релаксации к новому равновесному состоянию по одной из изображенных на рис. 2.1 траекторий.
Рис. 2.1. Релаксация системы из одного равновесного состояния в другое после импульсного воздействия.
При малых отношениях величин управляющих потоков к соответствующим скоростям самопроизвольной релаксации, т.е. если за заданное время система успевает выйти на равновесие, процесс можно рассматривать как квазистатический, описываемый в терминах равновесной термодинамики и не требующей определения констант скорости (кривая 1). В противном случае необходимо использовать некоторые коэффициенты скорости процесса, определяемые из опыта (кривая 2,3). Такие коэффициенты сугубо индивидуальны для каждого процесса и агрегата, и могут претерпевать изменения во времени, поэтому они оцениваются статистически.
В этом разделе такой подход используется для описания конкретных процессов в сталеплавильной ванне, приводятся результаты, сопоставляются с традиционным описанием и имеющимися фактическими данными.
В качестве иллюстрации использования описанного метода расчета при проектировании технологического процесса выплавки стали рассмотрим динамику изменения содержания углерода [105] и азота [106] в жидком металле.
2.1. Кавзистатическое приближение
Квазистатическим называют процесс, при протекании которого состояние физико-химической системы остаётся близким к равновесию и описывается чисто термодинамически. Квазистатическое приближение является первым шагом динамического моделирования процесса.
2.1.1. Динамика окисления углерода
Окисление углерода считается главной реакцией сталеплавильного процесса. Ни один из вопросов технологии сталеплавильного производства не привлекал такого внимания, как кинетика окисления углерода. Её изучению, как в лабораторных так и промышленных условиях, посвящена обширная литература, однако многие вопросы до настоящего времени остаются дискуссионными.
Проследим один шаг процедуры интегрирования уравнения , описанной выше.
В исходный момент каждый из элементов, образующих систему металл-шлак-газ распределён следующим образом (условие материального баланса):
,
где , - число молей элемента соответственно в системе, в