РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
ОПТИМАЛЬНОГО СТРУКТУРНОГО СИНТЕЗА
СОЛЕНОИДНЫХ МАГНИТНЫХ СИСТЕМ
Постановка любой задачи, в том числе и структурного синтеза СМС является обязательным этапом ее решения, на результатах которого основывается выбор метода решения и его последующая модификация. Необходимость последней и вообще возможность применения выбранного метода полностью определяются особенностями решаемой задачи, для исследования которых в большинстве случаев требуется формальная модель задачи. Построение же строгого математического описания предполагает наличие концептуальной модели, адекватно отражающей физическую сущность решаемой задачи.
Важность постановки трудно переоценить, т.к. необоснованность принимаемых идеализаций и допущений может отразиться на адекватности модели, а в другом крайнем случае учета слишком большого количества факторов может быть достигнута неоправданная сложность модели, значительно затрудняющая решение рассматриваемой задачи.
Для формализации задачи оптимального структурного синтеза СМС необходимо выполнить следующее: конкретизировать конструкцию магнитных систем; обосновать возможные геометрические формы секций; определить набор параметров, описывающих конкретную систему; построить математическую модель СМС; выделить из набора параметров признаки структуры СМС; обосновать выбор показателей СМС, выступающих в качестве частных критериев оптимальности.
Таким образом, в настоящем разделе рассматриваются постановка и математическая формулировка задачи оптимального структурного синтеза СМС. Обсуждаются особенности решения задачи синтеза в предложенной постановке.
2.1. Постановка задачи оптимального структурного синтеза соленоидных магнитных систем
Исследуемые в настоящей работе СМС состоят из совокупности определенным образом расположенных в пространстве дискретных источников магнитных полей, которые в соответствии с принципом суперпозиции формируют некоторое распределение поля в рабочем объеме всей системы. Под дискретным источником магнитного поля понимается соленоидная секция - совокупность витков с током. Поперечное сечение реальных источников имеет конечные размеры, причем наибольшее распространение в силу технологичности изготовления получили источники с прямоугольным сечением. В СМС секции располагаются на одной оси, подключаются последовательно согласно или встречно и отличаются геометрическими и энергетическими характеристиками: формой витков, размерами и интенсивностью.
В общем случае геометрическая форма секции может быть произвольной (см., например, рис. 2.1). На практике вследствие большей технологичности наиболее распространено использование секций круговой и прямоугольной форм. Магнитные системы могут быть как однородными по форме секций (рис. 2.1, а-б), так и смешанными (рис. 2.1, в-г). Выбор одного из вариантов осуществляется в зависимости от конкретных условий. В случае жестких требований к сложности изготовления используются секции одинаковой формы. Если такие требования отсутствуют, допустимо использование смешанных систем.
Обоснованность применения секций разных форм заключается в различиях распределений магнитного поля, которые расширяют возможности синтеза СМС за счет варьирования формами секций. Для сравнения на рис. 2.2 приведены графики изменения отношения осевой составляющей поля Hz к значению этой составляющей в центре секции Hz0 для круговой, прямоугольной и треугольной форм [94].
а) однородная магнитная система из пяти круговых секций
б) однородная магнитная система из четырех шестиугольных секций
в) смешанная магнитная система из четырех секций
г) смешанная магнитная система из пяти секций
Рис. 2.1. Формы секций и типы систем
Интенсивность дискретного источника поля определяется числом витков и током, протекающим в нем. Подключенные последовательно секции магнитной системы питаются от единого источника тока, что является важным для ряда технических устройств и особенно актуально при плавной регулировке внешнего магнитного поля, как, например, в коэрцитиметрах.
Рис. 2.2. Распределение магнитного поля вдоль оси для секций
различной формы
Магнитное поле соленоидной секции описывается различными математическими моделями в зависимости от уровня идеализации, области пространства, для которой построена конкретная модель, и геометрической формы секции. Параметрами модели являются геометрические размеры и интенсивность источника поля.
В табл. 2.1 приведены модели, которые представляют соленоидную секцию в качестве объемного источника поля, т.е. учитывают поперечное сечение секции. Известны также модели (табл. 2.2), в которых идеализация, с целью упрощения математического описания, приводит к понятию линейного источника или тонкого контура. И хотя для реальных расчетов такие модели не всегда представляют интерес, их использование на этапах разработки и верификации метода оптимального структурного синтеза СМС является вполне обоснованным в плане уменьшения временных затрат на численные эксперименты. Для форм сложной конфигурации, отличных от круговой и прямоугольной, соответствующая математическая модель может быть получена с помощью аппроксимации прямолинейными токонесущими модулями конечной длины (см. табл. 2.1), которая заключается в разбиении секции на отдельные модули с последующей суперпозицией генерируемых ими полей.
Для расчетов магнитного поля в точках наблюдения, расположенных на оси СМС, целесообразно применять соответствующие модели, которые существенно проще моделей для произвольно расположенных точек.
Таблица 2.1.
Модели соленоидных секций прямоугольного поперечного сечения
№Форма секцииНапряженность магнитного поля секции1Токонесущий модуль конечной длины как элемент секции [95]
, , , ,
где h - длина модуля; a, b - размеры сечения модуля; J - плотность тока.2Круговая [96]
, , , ,
где RB, RH - внутренний и наружный радиусы секции; l, h - размеры сечения секции; J - плотность тока по сечению;