РАЗДЕЛ 2
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ СРЕД
2.1. Упрощение уравнений Максвелла в случае керамических сред
Разработка общей теории деформирования пьезокерамических тел должна базироваться на основных законах механики и электродинамики для таких сред. В материальных средах под влиянием внешнего электромагнитного поля происходят явления поляризации и намагничивания среды, что приводит к изменению макроскопического электромагнитного поля в объеме, занимаемом материальным телом. Уравнения Максвелла для расчета электромагнитного поля в материальных средах имеют вид [27, 206, 207]
(2.1)
В уравнениях (2.1) через и обозначены соответственно плотность свободных зарядов и плотность тока свободных зарядов. Величины D и B представляют собой векторы электрической и магнитной индукции соответственно, а E и H - векторы напряженности электрического и магнитного полей. Связь между этими величинами в вакууме устанавливается с помощью равенств
(2.2)
где векторы P и M характеризуют свойства поляризуемости и намагничивания среды. Постоянные и - это диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума. Между проницаемостями , и скоростью света в вакууме существует известная зависимость [27, 206, 207]:
Для однозначной разрешимости уравнений (2.1), (2.2) необходимо располагать физическими соотношениями, связывающими поляризацию и ток с напряженностью электрического поля, а также вектор намагничивания с индукцией магнитного поля. В слабых полях для большинства сред физические соотношения представляются линейными зависимостями. В этом случае
(2.3)
где ? и ? - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; ? - ее проводимость.
Записанные выше основные соотношения электромагнитной теории Максвелла существенно упрощаются в случае керамических тел, обладающих пьезоэффектом. Рассмотрение их кристаллической структуры и экспериментальные данные показывают, что с достаточной для практических целей точностью пьезоэлектрические керамики можно рассматривать как поляризуемые диэлектрики с пренебрежимо малым намагничиванием. В керамиках отсутствуют свободные электрические заряды, плотность тока свободных зарядов равна нулю. Поэтому обосновано можно положить
(2.4)
Тогда согласно (2.2) и уравнения Максвелла (2.1) примут вид
(2.5)
В большинстве публикаций по механике пьезокерамических сред утверждается [22, 25, 208]
(2.6)
где - электростатический потенциал.
Из третьего уравнения в (2.5) видно, что величина для переменных во времени полей в керамике не равна нулю. В монографии [27] показано, что через определяется ток смещения, протекающий через керамическое тело. Оценки для реальных составов керамик с отношением размером образцов около 0,1 м в диапазоне частот колебаний вплоть до 1 МГц показывают, что поправка на магнитные эффекты не превосходит по сравнению с единицей.
2.2. Линейная теория пьезоэлектричества
Линейная теория пьезоэлектричества является сравнительно простым обобщением классической теории упругости. Если исходить из четырех известных законов сохранения в применении к материальным средам [209, 210], то отличие пьезоэлектрической среды от обычного упругого тела будет выражаться в необходимости учета в уравнении баланса энергии потока электрической энергии. Остальные три закона сохранения (массы, количества движения и момента количества движения), в математическую запись которых входят лишь механические переменные сопряженного поля, используются в том же виде, что и в линейной теории упругости.
Для пьезоэлектрической среды закон сохранения энергии формулируется так: скорость приращения энергии (кинетической и внутренней) в некотором объеме пьезоэлектрической среды V, ограниченном поверхностью S, равна скорости изменения работы поверхностных механических сил на S плюс поток электрической энергии во внутрь объема V. В этой формулировке отражено предположение об отсутствии объемных сил.
Математическую запись закона сохранения энергии в указанной выше формулировке приведем в декартовых координатах [27]. Проекции вектора перемещений будем обозначать через , , , т.е.
(2.7)
Для компонентов тензора механических напряжений будем использовать следующие обозначения
(2.8)
Компоненты деформаций определим матрицей [211, 212]
, (2.9)
причем в ограничениях линейной теории упругости связь между деформациями и перемещениями устанавливается соотношениями Коши в виде равенств [211, 212]
(2.10)
Обычный, как и в классической теории упругости, уровень градиентности внутренних напряжений оправдывает использование условий парности касательных напряжений
(2.11)
Представляя вектор внешних напряжений , приложенных к точкам поверхности тела , через проекции на оси декартовых координат
(2.12)
с использованием приведенных выше обозначений, закон сохранения энергии для пьезоэлектрической среды запишем в виде
(2.13)
где ? - плотность среды; - функция внутренней энергии; - орт внешней нормали к поверхности тела; точкой сверху обозначено дифференцирование по времени. Знак минус перед слагаемым потока электрической энергии (второе слагаемое в правой части равенства (2.13)) обусловлен тем, что вектор Умова-Пойтинга () характеризует поток из объема среды, а в балансовом уравнении энергии необходимо выбирать потоки энергии через поверхность тела, направленные внутрь объема.
Энергетическое равенство (2.13), по сути, постулирует существование функции внутренней энергии . Естественно предполагать, что функция внутренней энергии зависит как от механических, так и электрических переменных сопряженного поля. Чтобы более точно указать вид зависимости от указанных переменных (термодинамических параметров), правда не самой функции внутренней энергии, а скорости приращения ее во времени , преобразуем интеграл в правой части (2.13) с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. С этой целью напряжения на наклонных площадках , и выразим через напряжения на площадках
- Київ+380960830922