ГЛАВА 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДАТЧИКОВ ОРИЕНТАЦИИ НА ОСНОВЕ ФЕРРОЗОНДОВЫХ ПЕРВИЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
В основу датчиков пространственной ориентации положим первичные преобразователи, реагирующие на магнитное поле Земли (МПЗ), магнитные поля, создаваемые соленоидами, кольцами Гельмгольца, Браунбека. К ним отнесём магнитометрические преобразователи в виде феррозондов [3,4,5], магнитосопротивлений [27], датчиков Холла[27, 76 ]. Они обладают, как правило, малыми габаритами, высокой вибро и ударопрочностью, широким температурным диапазоном использования, некоторые из них серийно выпускаются промышленностью. Всё это делает их особенно пригодными для применения в измерительных устройствах.
2.1. Математическая модель датчика ориентации с 3-осным феррозондовым первичным преобразователем
Пусть обобщенный датчик ориентации состоит из трёх одноосных, размещенных на общем основании феррозондов, оси чувствительности которых образуют ортогональный правый трёхгранник осей OXYZ, рис.2.1.
Такой датчик ориентации, будучи неподвижно закреплённым с контролируемым объектом, поворачивается вместе с ним относительно вектора напряженности МПЗ. При этом с феррозондов снимаются информационные сигналы, функционально связанные с проекциями напряженности вектора МПЗ на их оси чувствительности. Отсюда могут быть вычислены искомые углы пространственной ориентации объекта относительно неподвижной, связанной с Землей системы координат.
Составим математическую модель "идеального"* датчика ориентации. Для этого введём неподвижную, связанную с Землёй систему координат О??? (репер R0), в которой определим положение векторов напряженности МПЗ и - ускорения свободного падения, рис.2.2. Направим ось О? по касательной к магнитному меридиану и на Север, ось О? по вертикали места и вниз - для подземных объектов. Тогда проекции вектора МПЗ в неподвижной системе координат О??? записываются так: (H,0,Z), , где H, Z -горизонтальная и вертикальная составляющие МПЗ, а проекции вектора (0,0,g)-ускорения силы тяжести , где "?"-символ транспонирования. Угловое положение системы координат ОXYZ, репер R, связанный с датчиком, вполне определяется углами Эйлера.
Плоскость ?O? является горизонтальной плоскостью, плоскость ??x2 называют плоскостью наклона. Угол ?, отсчитанный в горизонтальной плоскости от оси ?? до оси ?x1 0???2?, называют магнитным азимутом. Поворот системы координат О??? вокруг оси аппликат ?? в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол азимута ? до совмещения с системой координат ?x1y1z1 рис.2.2 а, б задается матрицей направляющих косинусов А?(3), число (3) в скобках обозначает поворот вокруг третьей оси ??:
(2.1)
Второй поворот (рис.2.2, а, в) осуществим против часовой стрелки вокруг оси ординат ?y1 (второй оси) на зенитный угол ?, 0????. Переход от системы координат ?x1y1z1 к ?x2y2z2 задаётся матрицей :
(2.2)
Третий поворот (рис.2.2, а, г) совершим снова вокруг оси аппликат ?z2 (третьей оси) на угол ?, 0???2?. Переход от системы координат ?x2y2z2 к системе координат ?xyz, связанной с осями чувствительности преобразователей, задается матрицей
(2.3)
Матрица направляющих косинусов А между системами координат 0??? и 0xyz, равная произведению матриц направляющих косинусов последовательных вращений, такова:
(2.4)
Матрицы (2.1), (2.2), (2.3), (2.4) являются ортогональными. Для них транспонированная матрица А? равна обратной А-1: А?= А-1.
Введенные углы: азимут ?, 0???2?, зенит ?, 0????, визирный угол ?, 0???2? являются Эйлеровыми углами?.
Проекции векторов и , заданные в неподвижной системе координат 0??? (репер R0) в трёхграннике осей 0xyz (репер R), отыщутся из матричных равенств:
(2.5)
(2.6)
, или в скалярном виде:
(2.7)
(2.8)
Здесь TR0(H,0,Z), gR0(0,0,g)-компоненты векторов в декартовой системе координат 0???, а TR(Tx ,Ty ,Tz), gR(gx ,gy ,gz) - компоненты тех же векторов в системе координат 0xyz, связанной с датчиком ориентации. Выражения (2.6), (2.8) соответствуют ММ датчика ориентации с использованием измерений проекций вектора ускорения свободного падения посредством акселерометров.
Уравнения системы (2.7) связаны выражением
, , (2.9)
которое утверждает очевидный факт, что модуль вектора в исходной R0 и проектируемой системе координат R одинаковы. Отсюда следует, что по измерениям с двух любых феррозондовых преобразователей можно вычислить и значения третьего.
Решим систему уравнений (2.7) относительно азимута ?. Для этого матричное выражение (2.5), соответствующее исходной системе (2.7) последовательно слева помножим на обратные матрицы , которые для ортогональных матриц направляющих косинусов являются транспонированными. Учитывая, что произведение матрицы на обратную есть единичная матрица Е, , получим: (2.10), иначе:
(2.11)
или в скалярном виде, добавив выражение (2.9):
(2.12)
Отсюда вычисляются азимут и зенит при известном визирном угле ?, полученном с помощью дополнительного преобразователя визирного угла:
, 0???2?, (2.13)
, 0????/2 (2.14)
2.1.1. Определение визирного угла датчика ориентации
В строительстве наклонно-направленных скважин возникает необходимость проведения замеров в процессе бурения, т.е. при воздействии высоких вибрационных и ударных перегрузок, выдерживать заданное положение отклонителя, что осуществляется по измерению визирного угла ?. Азимут и зенит скважины изменяется медленно, поэтому, считая постоянными азимут ?=?0 и зенитный угол ?=?0 исходных уравнений (2.7) достаточно для вычисления визирного угла ?.
Разрешим систему уравнений (2.7) относительно координаты ?. Для этого помножим слева матричное уравнение (2.5) на транспонированную матрицу , учитывая при этом, что :
(2.15)
Запишем ур