РОЗДІЛ 2
ФУНКЦІЯ ВПЛИВУ ТА ЇЇ ВИКОРИСТАННЯ ДЛЯ ПОБУДОВИ РОЗВ'ЯЗКІВ І ХАРАКТЕРИСТИЧНИХ РІВНЯНЬ ЗАДАЧ КОЛИВАНЬ ПРУЖНИХ СИСТЕМ
2.1. Зображення загальних розв'язків звичайних диференціальних рівнянь з особливостями в коефіцієнтах за допомогою функції впливу
Як зазначено в першому розділі, дослідження коливань і стійкості пружних систем, які разом з континуальними характеристиками мають і зосереджені (Рис.2.1), зводяться до узагальненої задачі на власні значення для звичайного диференціального рівняння з особливостями типу дельта-функцій з особливостями в коефіцієнтах.
Тому розглянемо лінійне диференціальне рівняння
(2.1)
де
дельта-функція Дірака;
- аргумент;
- параметр.
Функція впливу або фундаментальний розв'язок рівняння (2.1) визначається за формулою [23]
. (2.2)
Тут - одинична функція Хевісайда; - функція Коші, тобто розв'язок однорідного рівняння , що задовольняє при таким умовам
. (2.3)
Функція впливу (2.2) є розв'язком рівняння (2.1). Справді, враховуючи співвідношення
, (2.4)
якщо то , і використовуючи умови (2.3), отримуємо
(2.5)
Підставляючи (2.5) в (2.1) , прийдемо до [45]
. (2.6)
Очевидно, що функція впливу визначається з точністю до доданку, що є довільним розв'язком однорідного рівняння .
Рис. 2.1. Схема балки із підкріпленими масами і осциляторами
Розглянемо тепер рівняння
. (2.7)
Його розв'язками є часткові похідні від функції впливу (2.2) за параметром , а саме
, (j=1,2,...) (2.8)
Дійсно
(2.9)
Функція Коші і її послідовні похідні за параметром до -ї включно утворюють фундаментальну систему розв'язків рівняння .
Нехай деякі фундаментальні функції цього рівняння. Тоді його загальний розв'язок має вигляд
(2.10)
Підставляючи праву частину (2.10) в умови (2.3), отримаємо для визначення довільних сталих неоднорідну систему алгебраїчних рівнянь, визначник якої
(2.11)
є визначником Вронського системи фундаментальних функцій при . Тому він відмінний від нуля і постійні і розв'язок (2.10) визначається єдиним способом, причому [45]
. (2.12)
Або в іншій формі:
. (2.13)
Звідси видно, що часткові похідні функції довільного порядку за параметром задовольняють рівнянню . Виходячи із формули (2.12) і враховуючи умови(2.3) отримаємо співвідношення
(2.14)
Тому визначник Вронського для системи функцій
(2.15)
має при трикутний вигляд і відмінний від нуля. Отже система функцій (2.15) є фундаментальною.
Розглянемо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння, яке відповідає рівнянню (2.1)
(2.16)
Загальний розв'язок цього рівняння можна представити за допомогою однієї функції визначеної вище, наступним чином
, (2.17)
де Аk- довільні сталі, - частковий розв'язок рівняння (2.16), який визначається за формулою
. (2.18)
Нехай коефіцієнти рівняння мають особливості типу дельта-функцій і її похідних
, (2.19)
де
співпадає з лівою частиною рівняння (2.16);
параметри;
, (Е-ціла частина);
xі- задані точки, причому
a
. (2.20)
Поклавши тут х=х1, знайдемо
. (2.21)
Диференціюючи (2.20) за змінною х і вважаючи потім х=х1 отримаємо
. (2.22)
Аналогічно знаходимо похідні вищих порядків і їхні значення при х=х1
. (2.23)
Співвідношення (2.21)-(2.23) дозволяють виключити із рівняння (2.20) значення і приводять до таких формул загального розв'язку
(2.24)
де
. (2.25)
Поступаючи аналогічно при , отримаємо формулу для загального розв'язку рівняння (2.19)
, (2.26)
, (2.27)
. (2.28)
Таким чином функція Коші дозволяє будувати загальний розв'язок рівняння (2.19) з особливостями типу дельта-функції і її похідних. Якщо rn=1, то, застосовуючи формулу (2.27), можна побудувати розв'язок Qvs рівняння (2.19), що відповідає розв'язкові однорідного рівняння , в явному вигляді при довільному v.
(2.29)
Тут використано позначення
. (2.30)
Слід відзначити, що довільній системі фундаментальних функцій рівняння буде відповідати система фундаментальних функцій для рівняння (2.19), які визначаються за формулою (2.29). При цьому загальний розв'язок цього рівняння можна записати так [45]
. (2.31)
2.2. Розвинення функції впливу у степеневі ряди Тейлора та у вигляді ряду за параметром
Тільки у випадку, коли задача дослідження малих коливань та стійкості звелася до звичайного диференціального рівняння із сталими коефіцієнтами або звідного до нього, функцію впливу можна записати в замкненому вигляді. Доцільно будувати її у вигляді рядів.
Розглянемо диференціальне рівняння
(2.32)
і спряжене до нього рівняння
. (2.33)
з коефіцієнтами pv(x) аналітичними на даному інтервалі і неперервними правими частинами p(x) і . Коефіцієнти спряженого рівняння далі позначатимемо через . Часткові розв'язки цих рівнянь мають вигляд
. (2.34)
Функція (2.32) і її часткові похідні за параметром ?, а для рівняння (2.33) за параметром x утворюють фундаментальну систему розв'язків цих рівнянь. Вважаючи х і ? незалежними змінними, можна будувати функцію Коші у вигляді [43]
(2.35)
де . (2.36)
Виходячи із формули (2.35) можна будувати загальні розв'язки. Справді при з правої частини (2.35) для визначення фундаментальної системи розв'язків рівняння отримаємо
(2.37)
Аналогічно для рівняння
. (2.38)
При побудові часткових розв'язків (2.34) доцільно і q(x) представляти рядами Тейлора за степенями ?-х і х-? відповідно. Тоді прийдемо до такого представлення функції Коші.
(2.39)
де
(2.40)
Сума цього ряду визначається з