РАЗДЕЛ 2
ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫМ ПРЕДПРИЯТИЕМ
2.1. Моделирование запаздывания при освоении капитальных вложений
Вопросы оперативного управления сельскохозяйственными предприятиями могут быть решены путем создания моделей сельскохозяйственных предприятий, учитывая динамику предприятий, а также для увеличения оперативности управления использовать стандартные и разрабатывать новые программные продукты. Для этого требуется учитывать особенности распределения валового продукта на различных этапах, а также запаздывания между инвестициями и вводом за их счет новых производственных фондов.
При идентификации процессов сельскохозяйственного производства одним из главных вопросов является формирование взаимосвязей факторов с учетом запаздывания. Так, например, цепочка "капитальные вложения - ввод в действие основных производственных фондов" относится к числу таких взаимосвязей.
Имеется два подхода при моделировании запаздывания в процессе освоения капитальных вложений. Первый из них предполагает наличие промежутка времени ?, по прошествии которого капиталовложения превращаются в основные фонды. В этом случае можно считать, что изменение основных фондов в момент t происходит за счет инвестиций, выделенных в момент t-?. Тогда модель прироста основных фондов K(t) в непрерывном варианте принимает вид К(t) = - ?K(t) + I(t -?). Это уравнение представляет собой уравнение с запаздыванием, или, как принято в теории дифференциальных уравнений, уравнение с отклоняющимся аргументом. Величина ? называется параметром запаздывания и определяет значение лага, т. е. времени, необходимого на освоение инвестиций [66].
Наряду с данной моделью, в настоящее время используется подход к моделированию запаздывания, основанный на введении так называемого распределенного лага. При этом предполагается, что инвестиции, выделяемые на развитие основных фондов, осваиваются постепенно. Это значит, что если в момент времени ? выделены инвестиции I(?), то в момент времени t будет освоена доля N(t,?) основных фондов. Если теперь взять все моменты времени ?
В случае дискретной (многошаговой) модели, когда инвестиции образуются в моменты времени t?t1>t2> ... >tn> ..., формулу (2.1) можно переписать следующим образом:
(2.2)
Если доля инвестиций, образованных в момент времени ? и вводимых в действие в момент времени t, зависит лишь oт промежутка времени освоения t-?, то говорят о стационарности процесса ввода инвестиций в действие [72]. В этом случае функция N(t,?) будет, очевидно, зависеть лишь от t-? и, следовательно, равна N(t-?). Формула (2.1) тогда примет вид
(2.3)
Введем новую переменную ? = t-?. Если ?> -?, то ?> ?, а если ?=t , то ?= 0. Тогда выражение для V (t) примет вид:
(2.4)
Функция N(?) является важной характеристикой процесса ввода в действие капиталовложений. Одним из предположений о ее поведении, которое может быть принято, является предположение о монотонном убывании N(?), т.е. доля вводимых в заданный момент времени t инвестиций, выделенных в момент времени t-?, будет тем меньше, чем больше промежуток времени ?. При моделировании инвестиционного лага используются различные способы задания функции N(?) [4]. Зададим ее в виде N(?)=?e???. Если процесс освоения инвестиций является стационарным и I(?)=I=const при -??t, то естественным является требование V(t) = I. Подставляя I(?)= I и V(t)= I в формулу (2.3), получим , откуда, сокращая на I, будем иметь При ?>?, доля вводимых инвестиций должна убывать к нулю, иначе говоря, должно иметь место соотношение
Очевидно, что рассматриваемая функция распределения лага N(?)=?e-?? перечисленным условиям удовлетворяет, так как
Получим теперь уравнение для скорости ввода капитальных вложений. Для этого вычислим производную левой и правой частей соотношения (2.4). Вычисляя производную правой части по правилу дифференцирования интеграла, получим Получившийся при этом интеграл можно вычислить по частям:
При вычислении было использовано равенство . Соотношение (2.5) даёт искомое уравнение для
(2.5)
Для экспоненциального закона запаздывания уравнения (2.5) упрощается. В этом случае и N (0) = ?. Поэтому уравнение (2.5) можно переписать в виде Но с учетом (2.4) последнее слагаемое будет равно - ?V(t), поэтому окончательно получим
(2.6)
Как видно из соотношения (2.6), в случае экспоненциального закона запаздывания, объем вводимых в действие капитальных вложений может быть найден с помощью решения обыкновенного дифференциального уравнения (2.6). При этом необходимо задать значение I(t) и начальное значение V(tQ)=V0. После этого V(t) определяется как решение задачи Коши. Теперь модель роста основных фондов будет выглядеть так:
(2.7)
Таким образом, в случае экспоненциального распределения лага основные производственные фонды i-й отрасли Ki(t) могут быть найдены из системы дифференциальных уравнений (2.7). Зависимости типа (2.6) и (2.7) могут быть получены и в дискретной модели ввода в действие основных фондов (2.4). Аналогом соотношения (2.4) является при этом функция
N(?)=?(1-?)?, (2.8)
которая, как нетрудно проверить, удовлетворяет условию
(2.9)
Предположим, как и в непрерывном случае, что фигурирующая в нем функция N(t,ti) зависит лишь от разности t - ti. Обозначая эту разность через ? и используя для N(?) формулу (2.8), перепишем соотношение (2.2) в виде: