РАЗДЕЛ 2
НОВАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕЗИНОКОРДНЫХ ОБОЛОЧЕК
2.1. Геометрические уравнения
Многослойная структура каркаса пневматических шин существенно различается жёсткостью в тангенциальном и поперечном направлениях, что указывает на необходимость учёта деформаций сдвига независимо от типа шины. В соответствии с этим используем гипотезу "ломаной" линии для каркаса шины.
На рис. 2.1 показано распределение тангенциальных перемещений слоёв каркаса. Независимыми перемещениями являются перемещения наружных слоёв каркаса. Перемещения среднего слоя будут вычисляться через перемещения наружных слоёв и изменения кривизны каркаса при деформации.
Рис. 2.1. Тангенциальные перемещения слоёв каркаса
Выражения для перемещений произвольного слоя каркаса с учётом отсутствия проскальзывания слоёв по границам их сопряжения запишутся в виде:
1) для нижнего слоя (l/2h2?Z?h1+l/2h2)
(2.1)
2) для среднего слоя (-l/2h2?Z?l/2h2)
(2.2)
3) для верхнего слоя (-l/2h2-h3?Z?-l/2h2)
(2.3)
В этих формулах величина ?i является углом наклона касательной к деформированной поверхности каркаса. Этот угол выражается следующей зависимостью:
(2.4)
Параметрами Ламе в выбранной системе координат являются:
(2.5)
Деформации для произвольного слоя шины можно записать в виде выражений [2]:
(2.6)
Теперь учтём геометрическую нелинейность при деформации шины:
; ; ;
(2.7)
Следуя всему предыдущему, в соответствии с указанными допущениями и обозначениями деформации произвольного слоя в общем виде можно записать следующим образом:
(2.8)
где еij(к) - деформация серединной поверхности к - ого слоя;
Кij(к) - кривизна к - ого слоя;
Z(к) - обобщённая поперечная координата к - ого слоя относительно поверхности оболочки.
Для наружных слоёв запишем:
. (2.9)
Деформацию среднего слоя можно записать из условия отсутствия проскальзывания слоёв:
(2.10)
Все перечисленные выше формулы позволяют найти необходимые перемещения и деформации для любых слоёв шины.
2.2. Физические уравнения
Свойства резинокордного материала можно описать с помощью соотношений Дюгамеля - Неймана для анизотропного тела:
(2.11)
где аijkl - модули упругой податливости;
?ijt - температурные коэффициенты линейного расширения и сдвига анизотропного тела;
?Т - приращение температуры.
Разрешая эту систему относительно напряжений, получаем:
(2.12)
где bijkl - компоненты тензора упругой жёсткости анизотропного тела.
Коэффициенты аijkl и bijkl могут быть получены по одной из теорий армирования через модуль упругости корда и резины и их соотношения в каркасе [18].
Для частного случая трансверсально изотропного материала тензорная форма записи в матричной форме имеет вид:
(2.13)
Компоненты тензора жёсткости можно связать с матричными компонентами следующими зависимостями:
(2.14)
Упругие параметры анизотропного материала вычисляются в зависимости от типа корда и углов его наклона к меридиональному сечению шины.
2.3. Уравнения равновесия
Уравнения равновесия и краевые условия получены с использованием смешанного вариационного принципа [18]. Полученные после преобразования уравнения равновесия имеют следующий вид [65]:
;
;
(2.15)
В уравнениях (2.15) усилия определяются по формулам
(i=1,2). (2.16)
где n - число слоёв каркаса шины.
Условия на контуре запишутся так:
(2.17)
Из (2.17) видно, что на каждом слое оболочки должно быть задано пять условий.
Для тороидальной оболочки (рис. 2.2) в качестве криволинейных координат приняты углы ? (в окружном направлении) и ? (в меридиональном направлении).
Рис. 2.2. Криволинейная система координат для тороидальной оболочки шины
Тогда в соответствии с [65] параметры Ламе и главные кривизны определяются по формулам
(2.18)
С учётом принятой криволинейной системы координат основные случаи закрепления края оболочки следующие:
Если шина на ободе закреплена шарнирно, то
(2.19)
Если шина на ободе закреплена жёстко, то
(2.20)
В окружном направлении краевые условия выполняются автоматически при учёте замкнутости тороидальной оболочки.
2.4. Вариационные уравнения
Для решения нелинейной краевой задачи можно использовать как аналитические методы, так и численные методы. С их помощью нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных приводят к системе нелинейных алгебраических уравнений. Эти уравнения решаются методом последовательных приближений на ЭВМ.
В связи с тем, что получение и решение системы нелинейных алгебраических уравнений высокой размерности связано со значительными математическими трудностями [48], был применен другой подход, в котором нет необходимости в формировании нелинейных алгебраических уравнений. В этом подходе, который называется энергетическим, метод последовательных приближений используется на более раннем этапе решения [64].
Известно, что функционал энергии упругой системы обладает свойством минимальности для действительных значений неизвестных функций. Функционал полной энергии для резинокордной оболочки вращения запишется в виде:
Э = U - W