ГЛАВА 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛООБМЕНА В ПРЯМО-
И ПРОТИВОТОКЕ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ ПОТЕРЬ
2.1. Теплообмен в прямо- и противотоке при линейных граничных условиях
Рассмотрим симметричный нагрев тел простой формы толщиной (диаметром) 2ЧR в
прямо- и противотоке с учетом потерь теплоты через кладку печи, если известны
температура материала и греющего газа в начальный момент времени (). Необходимо
определить закономерности изменения температур тел, греющих газов и плотности
теплового потока на поверхность материала в процессе теплообмена.
При решении задачи приняты следующие допущения: теплофизические свойства
материала, газа и кладки постоянны; тепловыделения в материале и слое газа
отсутствуют; нагреваемые тела имеют равномерное начальное распределение
температуры; теплообмен осуществляется по закону Ньютона-Рихмана; температура
окружающей среды равна 0 °С.
Математически задача формулируется в виде уравнений, полученных из:
теплового баланса по материалу
, (2.1)
где – коэффициент массивности тела [97];
теплового баланса по газу
, (2.2)
где верхний знак для противотока, нижний- для прямотока.
Начальные условия: .
Здесь и далее символы, входящие в формулы (2.1), (2.2) и др., соответствуют
приведенным в перечне условных обозначений, символов, единиц, сокращений и
терминов.
Коэффициент тепловых потерь зависит от формы тела:
для пластины ; (2.3)
для цилиндра ; (2.4)
для шара , (2.5)
где P- периметр рабочего пространства печи, м;
- число радиусов цилиндра или шара между осями заготовок.
Математическая постановка задачи в безразмерном виде:
; (2.6)
. (2.7)
Начальные условия: ==, ==.
Здесь и - безразмерные температура продуктов сгорания и среднемассовая
температура тела.
Решая совместно уравнения (2.6) и (2.7), получим линейное однородное
дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
относительно среднемассовой температуры материала
, (2.8)
характеристическое уравнение которого
. (2.9)
Квадратное уравнение (2.9) в общем случае имеет два действительных корня:
; (2.10)
, (2.11)
где
. (2.12)
Решение задачи получено в виде:
для среднемассовой температуры материала
(2.13)
для температуры продуктов сгорания
(2.14)
и для безразмерной плотности теплового потока
; (2.15)
где ; ;
Анализ уравнений (2.9- 2.15) показывает, что при отсутствии тепловых потерь ()
корни характеристического уравнения (2.9) и , а из приведенного решения
рассматриваемой задачи можно получить известные решения Э.М. Гольдфарба [71]
(при ) для нагрева термически тонких тел и В.М. Ольшанского [74] (при ) для
нагрева тел с учетом их массивности.
Кроме того, из уравнений (2.15, 2.10- 2.12) следует, что режим нагрева
существует только для противотока при и . Частное решение задачи для этого
случая совпадает с решением приведенным в работе [74] и с учетом принятых
обозначений имеет вид:
, (2.16)
, (2.17)
. (2.18)
При режим нагрева в противотоке не существует.
На рис. 2.1 показаны графики зависимостей =, , , построенные по приведенным
решениям для случая нагрева стальных цилиндрических заготовок в противотоке для
различных значений W при следующих исходных данных: , , , , , . (Здесь –
постоянная величина, представляющая собой безразмерную плотность теплового
потока, соответствующую моменту времени ).
Из рис. 2.1 видно, что чем ближе значение W к 1, тем большее влияние на
точность расчетов оказывает учет потерь теплоты рабочим пространством. Анализ
поведения относительной плотности теплового потока () показал, что при учете
тепловых потерь () нагрев металла с нарастающим тепловым потоком осуществляется
при значениях . В отсутствии потерь теплоты () при металл нагревается в режиме
, а при – тепловой поток всегда нарастает. Очевидно, что существуют такие
значения W и , при которых тепловой поток сначала падает, а затем
увеличивается.
(а)
(б)
(в)
Рис. 2.1. Графики зависимостей относительных температуры
металла (а), температуры продуктов сгорания (б), плотности теплового потока (в)
от безразмерного времени нагрева для
противотока при различных значениях W.
Цифры у кривых: 1- ; 2- ; 3- ; 4- ; 5- ; 6– .
- сплошные кривые, - пунктирные кривые.
Следует отметить, что приведенное выше решение удобно использовать для
прямоточных печей. При проектных расчетах нагрева материала в методической зоне
печи противоточного типа обычно задаются значениями среднемассовой температуры
материала на входе в зону () и выходе из нее (), а также температурой продуктов
сгорания, с которыми они вступают в теплообмен (). Требуется определить
продолжительность нагрева материала () до , т.е. длину зоны, температуру
покидающих ее продуктов сгорания (), а также закономерности изменения
температур тел, греющих газов и плотности теплового потока на поверхность
материала.
Эти закономерности могут быть получены путем решения уравнений (2.6) и (2.7)
при следующих начальных условиях:
, ,
где и - безразмерные температура продуктов сгорания и среднемассовая
температура тела.
Решение задачи имеет вид:
для среднемассовой температуры материала
, (2.19)
для температуры продуктов сгорания
, (2.20)
для безразмерной плотности теплового потока
, (2.21)
где ; ;
и - корни характеристического уравнения (2.9), определяются по формулам (2.10)
и (2.11) соответственно;
- безразмерная продолжительность нагрева, т.е. время, за которое материал
нагревается от до .
В коэффициенты и входит неизвестная величина , которая может быть определена
методом последовательных приближений из уравнения (2.19), записанного для
начального момента времени, соответствующего :
. (2.22)
Частное решение задачи
- Київ+380960830922