РОЗДІЛ 2
НАПРУЖЕНИЙ СТАН ГНУЧКИХ ПЛАСТИН З ОТВОРОМ ПРИ ЗГИНІ
Проблемі концентрації напружень біля отвору пластин при їх розтягу, стиску або
зсуву (в лінійної та нелінійної постановах) присвячено численні дослідження
ряду вчених, серед яких слід назвати Г.М.Савіна, О.М.Гузя,
О.С.Космодаміанського, Е.Ф.Бурмістрова, Н.П.Флейшмана, В.І.Тульчія та ін.
Узагальнені результати по лінійній проблемі концентрації напружень представлені
в монографіях [49], [52], [103], [106], [107].
Більшість виконаних досліджень проведено аналітичними методами; в останні 20
років почали широко використовувати чисельні методи. Задачам пружного
геометрично нелінійного згину пластин з отвором присвячено порівняно мало
досліджень, оскільки при їх розв’язуванні зустрічається ряд принципових
труднощів.
Головні з них полягають в тому, що при застосуванні ітераційних схем
розв’язування довільного типу, суттєво збільшується на “нескінченності” порядок
особливостей, які породжують початкові (лінійні) наближення. В кінцевому
підсумку прогини, зусилля, моменти при віддалені від отвору необмежено
зростають. Причина цього феномену в тому, що суттєво розрізняються порядки
диференціальних операторів лінійної (четвертого) та нелінійної (другого) частин
відповідних рівнянь.
Саме квадратично нелінійні оператори спричиняють “намотування” порядків
особливостей. До речі, якщо розглянути аналогічні задачі для випадку розтягу
нескінченних пластин з отвором з урахуванням фізичної нелінійності, то вказані
порядки однакові і вказане явище не має місця.
В зв’язку з цим виникла задача пошуку таких аналітичних методів розв’язання
вказаної задачі, які б дозволили суттєво зменшити в шуканих розв’язках порядок
сингулярностей на “нескінченності” і дали б можливість виконувати розрахунки
силових характеристик в довільній точці пластини.
2.1. Постановка і метод розв’язування задачі про геометрично нелінійне
деформування пластин з отвором
Розглянемо пластину товщини , яка ослаблена криволінійним отвором з достатньо
гладким контуром . Вважаємо, що серединна площина пластини віднесена до
криволінійних ортогональних координат , причому контур співпадає з однією з
координатних ліній, наприклад . Через позначаємо інерціальну систему відліку в
точці , яка належить області, обмеженої контуром . Матеріал пластини вважаємо
однорідним ізотропним, контур отвору – вільним від навантаження. Вважаємо, що
на “нескінченності” прикладені згинаючі моменти, вектори яких колінеарні
координатним лініям .
Рис.2.1
Ставиться задача: дослідити напружено-деформованний стан біля отвору в
припущенні, що пластина геометрично нелінійно згинається під дією вказаних
моментів.
Для розв’язку задачі необхідно знайти функцію прогинів та функцію напружень ,
які задовольняють відомим рівнянням Кармана (1.3.11), (1.3.12):
, (2.1.1)
де - білінійна диференціальна форма виду
, (2.1.2)
де – лінійні диференціальні оператори такої аналітичної структури
(2.1.3)
Зауважимо, що введення операторів значно спрощує запис відповідних формул,
проведення в подальшому досліджень якісного плану тощо.
Зусилля , моменти , кривизни визначаються через вказані оператори наступним
чином:
(2.1.4)
Вираз для узагальнених перерізуючих зусиль можна представити через оператори
наступним чином:
, (2.1.5)
На контурі шукані функції та повинні задовольняти наступним граничним умовам
(2.1.6)
На зовнішньому контурі пластинки (на “нескінченності”) можуть бути різного типу
граничні умови. В загальному, для довільних криволінійних ортогональних
координат ці умови наведені в додатку Ж.
Припускаємо, що зовнішній контур вважається віддаленим на “нескінченність”;
тоді шукані функції повинні наближатись до певних сталих значень (наприклад, до
напруженого стану аналогічної пластини без отвору):
, (2.1.7)
де – довільна точка серединної площини пластини.
Розв’язок поставленої задачі можна знаходити різними варіантами методів
ітерацій, серед яких використовуємо найбільш простий – метод розкладу по
параметру [34].
Шукані функції і подаємо в вигляді наступних розкладів по параметру :
. (2.1.8)
Тут е – безрозмірне значення параметра , за який приймаємо інтенсивність
моментного навантаження на «нескінченності»:
, ,
де .
Для визначення шуканих функцій , отримуємо два типи лінійних граничних задач.
Задачі а):
(2.1.9)
граничні умови:
(2.1.10)
Тут – значення згинних моментів на ”нескінченності” ,..
Задачі б):
(2.1.11)
граничні умови:
(2.1.12)
Якщо одержана певна кількість наближень в процесі розв’язку задач а) і б), то
можна дослідити НДС при великих прогинах пластинки в довільній точці, в тому
числі концентрацію моментів та зусиль в околі контуру .
Метод малого параметра широко застосовували при розв’язуванні нелінійних задач
теорії пластин і оболонок, в тому числі при розв’язуванні задач про
концентрацію зусиль, моментів [33] – [36], [123] – [125].
2.2. Основні співвідношення поставленної задачі в полярних координатах
Поряд з криволінійною системою координат введемо полярну систему, тобто
положення довільної точки серединної площини пластини до деформації будемо
задавати координатами та . Тоді в усіх співвідношеннях слід покладати .
У цьому випадку досліджува