Раздел 2
ТЕНЕВОЙ ЭФФЕКТ для ПОВЕРХНОСТей, описывающихся неоднозначной несвязной
функцией
В этой главе представлены результаты компьютерного моделирования теневого
эффекта для поверхностей, описывающихся неоднозначной несвязной случайной
функцией. Исследованы, также, среды, состоящие из непрозрачных частиц случайной
и сферической формы. Проведен анализ статистических параметров частиц случайной
формы. Рассчитаны фазовые функции первых шести порядков рассеяния для сред,
состоящих из частиц разных форм, для разных значений объемной плотности.
2.1. Формирование поверхностей, описывающихся неоднозначной несвязной случайной
функцией.
Основным в расчете теневого эффекта является оценка площади поверхности
одновременно видимой и освещенной. Для того чтобы выполнить такую оценку
необходимо иметь возможность описывать поверхность математически. Одна из
возможностей описания неоднозначного рельефа состоит в следующем [15, 28]. Если
рассечь плоскостью случайную однозначную поверхность, то в этой плоскости
образуется двумерная среда сложной структуры, “частицы” которой будут являться
сечениями положительных форм рельефа этой поверхности. Напрашивается простое
обобщение этого подхода на случай большей размерности: рассечение трехмерной
гиперплоскостью однозначной четырехмерной поверхности. Такую поверхность можно
образовать с помощью вспомогательного (генерирующего) статистически однородного
случайного трехмерного поля h(x,y,z) с заданными свойствами – распределением
W(h) и корреляционной функцией q(Dx, Dy, Dz). Значение этого поля сравнивается
в каждой точке пространства с некоторой константой C; при этом считается, что в
случае h(x,y,z) > C в данной точке находится вещество частицы среды, а при
h(x,y,z) Ј C – пустое пространство. Таким образом, получается реализация
трехмерной среды, состоящей из частиц, со статистически постоянной объемной
плотностью r. Используя вместо константы С некоторую функцию С(z) можно
получить среду с градиентом плотности вдоль вертикальной оси z.
Если ограничиться расчетом эффектов рассеяния только первого порядка можно
иметь дело не со всей трехмерной средой, а лишь с ее тонким слоем, содержащим
плоскость рассеяния. Это позволяет задать h(x,y,z) не во всем трехмерном
пространстве, а лишь в двух близких плоскостях h(x,y,z0) и h(x,y,z1). Исходное
случайное поле в этих плоскостях сильно скоррелировано, если расстояние между
этими плоскостями d << R, где R – радиус корреляции. Пара таких плоскостей
вырезает из поверхности раздела частиц среды узкую полосу, в общем случае
неоднозначную и несвязную (рис. 2.1а).
Мы исследуем три типа сред – с фрактальной и гауссовой статистикой
генерирующего случайного поля – и среды, состоящие из сферических частиц. В
последнем случае среда есть совокупность сфер статистически равномерно
распределенных в конечном объеме. Во фрактальной модели распределение значений
генерирующего поля описываются законом броуновского движения. Реализация
случайного поля генерируется в дискретной сетке, определенной в плоскости (x,
y, (z0+z1)/2). Применяется алгоритм с последовательным измельчением шага сетки
(алгоритм Фосса [140]). Любая выборка значений поля (из строки или столбца
сетки) имеет вид графика броуновского движения. То есть среднеквадратичное
приращение значений случайного поля есть: , где s20 – начальная дисперсия,
которую без потери общности можно положить равной единице, D – фрактальная
размерность. r0 – масштабный коэффициент, называемый топотезией [19]; он связан
с выбором единицы длины, которая для определенности принята равной 1.
Фрактальная размерность поверхности есть дробное число 2 < D < 3, причем при D
близком к 2 поверхность превращается в гладкую, а при D, стремящемся к 3 –
становится настолько изрытой, что в некотором смысле обретает сходство с
трехмерной средой. Естественно, при моделировании в памяти компьютера нельзя
работать с настоящим фракталом, который имеет сколь угодно малые детали. Мы
вынуждены ограничиваться использованием предфрактала (приближенным описанием
фрактала), учитывая детали с минимальным размером, который задан шагом
модельного растра.
Также, для генерации сред, состоящих из частиц неправильной формы можно
использовать случайное поле с гауссовской статистикой, которое характеризуется
плотностью вероятности:
, (2.1)
и корреляционной функцией
, (2.2)
где s - среднеквадратичное значение случайного поля h(x, y, z), D0 –
определитель матрицы коэффициентов корреляции высот в m точках, di,k – элемент
такой матрицы, Dk,j – матрица, составленная из алгебраических дополнений
матрицы коэффициентов корреляции между hj, li,k – расстояние между точками i и
k, R – радиус корреляции.
Гауссовская среда характеризуется наличием характерного размера R, меньше
которого она не имеет деталей, в отличие от фрактальной среды,
структурированной во всех масштабах, вплоть до шага дискретности модели.
В памяти компьютера среды представляются значительно большим (по сравнению с
размером частиц) кубическим объемом. Поверхность частиц описывается
совокупностью треугольных фасеток – состыкованных плоских треугольных граней
(рис. 2.1). К каждой грани можно провести нормаль, определить локальные углы
падения и отражения и рассчитать рассеянный световой поток, применив любую
индикатрису для элемента поверхности. В этой главе мы используем для
определенности индикатрису рассеяния Ламберта. При этом вклад каждого луча в
рассеянный поток будет равен cosi, где i – локальный угол падения на
поверхность частицы. Трассировка большого числа лучей позволяет рассчитать
фазовую фу
- Київ+380960830922