ГЛАВА 2
ВСЕЛЕННАЯ С ПЫЛЕВИДНОЙ МАТЕРИЕЙ
И КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ
Общепринятыми моделями для описания Вселенной на данный момент являются
космологические модели Фридмана, описывающие Вселенную с однородным
распределением пылевидной материи. Они являются частным случаем решения
Толмена, которое описывает неоднородное распределение пылевидной материи. Во
второй главе рассматривается обобщение известных решений Толмена и Фридмана на
случай ненулевой космологической постоянной.
В первом разделе главы приводятся известные решения Толмена и Фридмана с .
Во втором разделе строятся и исследуются обобщения этих решений на случай
ненулевой космологической постоянной
2.1. Космологические модели Толмена и Фридмана
2.1.1. Решение Толмена.
Решение Толмена [49] описывает пространство-время в случае неоднородного
сферически-симметричного распределения пылевидной материи (см. (1.17) и табл.
1.1).
Запишем сферически-симметричный интервал в общем виде:
(2.1)
где r(R, t) – так называемый «радиус», выбранный таким образом, чтобы 2рr было
длиной окружности с центром в начале координат.
Плотность энергии в случае сферической симметрии будет зависеть только от R и
t, .
Решение Толмена хорошо известно, поэтому приводить его традиционный вывод [50]
мы не будем. Однако это решение также может быть получено с помощью метода
массовой функции [51], которым мы будем пользоваться в дальнейшем. Кроме того,
для получения точных решений в последующих главах нам понадобится решение
Толмена, записанное в терминах массовой функции. В связи с этим уместно кратко
привести вывод решения Толмена указанным методом.
Метод массовой функции заключается в том, что для сферически-симметричной
метрики общего вида (2.1) вводится массовая функция
(2.2)
где , . Тогда уравнения Эйнштейна в сопутствующей системе координат (ui=0, uм –
четырехвектор скорости пылевой конфигурации) могут быть записаны в терминах
массовой функции:
(2.3)
где введены следующие обозначения: , и : .
Поскольку мы рассматриваем неоднородное сферически-симметричное распределение
пылевидной материи, при котором плотность энергии и давление , то из второго
уравнения системы (2.3) сразу следует, что , и следовательно, . Тогда последнее
уравнение из (2.3) дает , и следовательно, , поскольку в общем случае . Введем
стандартное обозначение , тогда из определения следует, что . Третье уравнение
системы (2.3) дает , где – произвольная функция интегрирования, откуда следует,
что . Переопределив в интервале (2.1) временную переменную , мы получаем
синхронную систему координат, т.е. систему, в которой , а . Таким образом,
имеет место известный факт, что для пылевидного вещества сопутствующая система
координат является синхронной. С учетом новых обозначений
метрический интервал может быть переписан в виде:
(2.4)
а массовая функция:
(2.5)
Перепишем выражение (2.5) относительно :
(2.6)
Далее, стандартным образом в зависимости от знака выражения запишем в
параметрическом виде три типа решения Толмена:
гиперболический тип решения Толмена,
(2.7)
эллиптический тип решения Толмена,
(2.8)
параболический тип решения Толмена,
(2.9)
Здесь и далее для гиперболического и параболического типов знак «+»
соответствует расширению (), а знак «–» – сжатию () пылевого распределения.
Итак, в решении Толмена функции m(R), f(R) и t0(R) являются произвольными
функциями интегрирования, физический смысл которых состоит в следующем.
Функция m(R) представляет собой эффективную или полную гравитационную массу
пылевидного вещества, заключенного в объеме, ограниченном координатой R.
Действительно, используя первое уравнение системы (2.3), можно записать, что
(2.10)
Физический смысл функции можно выяснить, рассмотрев радиальное движение частиц
в фиксированном слое R с точки зрения бесконечно удаленного наблюдателя.
Известно, что полная энергия частицы в слое : , а , где . Можно показать, что ,
и следовательно . Таким образом, функция представляет собой полную энергию
частицы, находящейся в заданном слое R, в безразмерных единицах.
Функция t0(R) определяет время начала расширения или коллапса для данного слоя
R.
Решение Толмена имеет две истинных сингулярности: при и при . Координатная
особенность метрики находится из условия , что в нашем случае дает:
(2.11)
Выражение (2.11) определяет линию горизонта, наличие которой обусловлено
выбором системы координат.
Заметим, что решение Шварцшильда в синхронных координатах является частным
случаем решения Толмена (2.9), когда .
2.1.2. Решение Фридмана.
Решение Фридмана является частным случаем решения Толмена. Это решение было
получено Фридманом (1922 г.) [2] в предположении, что пылевидная материя во
Вселенной распределена однородно и изотропно. То есть, уравнение состояния
материи остается тем же: , а плотность энергии зависит только от времени: .
Как известно, существует три типа решения Фридмана в соответствии с тремя
возможными типами однородного изотропного пространства, для которых элементы
длины имеют вид:
, ;
(2.12)
, ;
(2.13)
, ,
(2.14)
где – радиус сферы, – кривизна поверхности.
При в метрике (2.4) перед должен стоять множитель , следовательно, . Согласно
(2.12), выражение перед это а2, тогда .
Получим выражение для массовой функции . Из первого уравнения системы (2.3), с
учетом выражения для , следует, что
(2.15)
И таким образом, .
Ландау и Лифшиц [50], используя предположение о постоянстве полной энтропии,
для замкнутого мира показали, что
(2.16)
где М – суммарная масса материи.
Аналитическое выражение для полной энергии в каждом типе решен
- Київ+380960830922