Розділ 2
МАТЕМАТИЧНа модель стану лежачої краплі рідини в електричному полі з
урахуванням її енергії
На основі проведеного в першому розділі огляду засобів контролю поверхневого
натягу встановлено, що найбільш ефективним є метод лежачої краплі. Але він має
низьку чутливість при малих значеннях поверхневого натягу (10-30 мН/м),
оскільки інформативним параметром визначення поверхневого натягу є зміна
геометричних параметрів краплі. В зв’язку з вище наведеним, необхідним є
вдосконалення методу, який би забезпечував високу чутливість, точність та мав
широкий діапазон вимірювань. Одним із шляхів вдосконалення методу лежачої
краплі є вплив електричного поля, який дозволяє збільшити зміну геометричних
параметрів краплі. Для опису процесів, що відбуваються в досліджуваній рідині
необхідно розробити математичну модель, яка повинна носити узагальнений
характер, бути гнучкою і, в той же час, досить конкретною.
Перш ніж приступити до розробки математичної моделі, проаналізуємо вплив
фізико-хімічних параметрів рідини та її поверхневої енергії на геометричні
параметри лежачої краплі.
2.1. Оцінювання впливу фізико-хімічних параметрів рідини та її поверхневої
енергії на геометричні параметри лежачої краплі
Важливою умовою створення математичної моделі є повнота уявлення про
фізико-хімічні властивості об’єкта дослідження та взаємодію з ним зовнішніх
впливових факторів. Рідина, що досліджується, може характеризуватися кількома
параметрами, зокрема: густиною r, показником заломлення nз, поверхневим натягом
s, концентрацією с, діелектричною проникністю рідини e, в’язкістю h [31].
Виходячи з мети даної роботи, інформативним параметром є поверхневий натяг. Для
його отримання необхідне знання та перетворення геометричних параметрів
меніска. При цьому варто передбачити дію додаткових впливів для підвищення
чутливості перетворення. Зовнішнім впливовим фактором може бути електричне
поле. Тоді параметром, що його характеризує, є напруженість електричного поля
Е. Реакція на дію впливових факторів пов’язана з умовами використання:
температурою навколишнього середовища t, атмосферним тиском Ратм.
Реакцією досліджуваної рідини на вхідний вплив є зміна геометричних параметрів
меніска, яка описується координатами точок меніска x, z, висотою h, радіусом
кривизни меніска R(x,z), об’ємом V(x,z) та площею поверхні S(x,z) краплі над
кромкою кювети. Отримання геометричних параметрів характеризується
конструктивними параметрами, до яких відносяться параметри оптичної схеми:
збільшення b, фокусна відстань f, величина діафрагми N, роздільна здатність
фотоприймального пристрою Rm, роздільна здатність цифро-аналогового
перетворення n, внутрішній радіус а та висота кювети b, в якій знаходиться
досліджувана рідина.
На основі вище сказаного, схема взаємозв’язків параметрів рідини та зовнішнього
впливу представлена на рис. 2.1. Схема містить такі параметри: Х – параметри
досліджуваної рідини, Uв – параметри зовнішнього впливу, Y – вихідні параметри
досліджуваного об’єкта, К – конструктивні параметри, w – величина, що
характеризує неточність моделі та складається з таких параметрів, як неточність
перетворення, нерівномірність просторового розповсюдження випромінювання,
неточність визначення геометричних параметрів менісків досліджуваної рідини
тощо.
Таким чином, узагальнену функцію перетворення поверхневого натягу можна
представити
, (2.1)
де Е – напруженість електричного поля;
e – діелектрична проникність рідини;
k – коефіцієнт деформації;
h – висота меніска;
V(x,z) – об’єм досліджуваної рідини над кромкою кювети;
S(x,z) – площа поверхні досліджуваної рідини;
а, b – внутрішній радіус та висота кювети.
Представлена схема взаємозв’язків лежить в основі розробки математичної моделі
визначення поверхневого натягу.
Рис. 2.1. Схема взаємозв’язків параметрів рідини та зовнішнього впливу
Для перетворення геометричних параметрів можуть використовуватись різні
фотоприймальні схеми. З розвитком волоконної та інтегральної оптики з’явився
ряд чутливих елементів спеціальних передавальних і приймальних пристроїв, які
відповідають високим вимогам надійності та чутливості [82].
В поверхневому шарі рідини виявляється нескомпенсованість міжмолекулярних сил:
молекули рідини, що знаходяться в цьому шарі, зазнають направлену всередину
силу притягання іншої частини рідини. Тому поверхневий шар рідини здійснює на
неї великий внутрішній тиск [31]. Цей тиск, зумовлений силами поверхневого
натягу, для випуклої поверхні має додатний знак, для увігнутої – від’ємний та
направлений у протилежний бік. Локальну умову механічної рівноваги на
викривленій межі двох фаз a і b виражає формула Лапласа (рис. 2.2) [10, 38]
, (2.2)
де R1, R2 – головні радіуси кривизни в точці поверхні;
a, b –рідина та повітря, відповідно;
p(a), p(b) – тиск у точці поверхні.
Разом із рівнянням Юнга формула Лапласа утворює основу класичної теорії
капілярності [39]
, (2.3)
де s(ab) – поверхневий натяг на межі ab;
q – крайовий кут змочування;
g – індекс відноситься до твердого тіла.
Формулу (2.2) важко використовувати для визначення поверхневого натягу, адже
суму головних кривизн і надлишковий тиск p(a)-p(b) отримати безпосередньо з
експерименту важко. Тому бажано мати справу із поверхнею досить простої форми,
наприклад, поверхнею обертання. В меридіональному перерізі поверхні обертання,
в якому лежить вісь обертання, радіус кривизни меридіана в кожній його точці
збігається з головним радіусом кривизни поверхні R1. Інший головний радіус –
циліндричний R2 – знаходиться в перерізах, перпендикулярних до меридіонального,
і дорівнює відстані х до осі обертання, помножен
- Київ+380960830922