РАЗДЕЛ 2
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СЛИТКОВ КАК ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ТЕЛ
2.1. Общая методика проводимого исследования
Рассмотрим уравнение теплопроводности длинной слитка размерами 2Н1х2Н2 в
безразмерных величинах (1.1) с начальным условием (1.2). Необходимо получить
решения задачи отдельно для каждого вида граничных условий (1.3)..(1.6).
Следует отметить, что стадия прогрева для тел умеренной массивности
(инерционный этап), быстротечна, и основной процесс передачи тепла при
нагревании осуществляется в упорядоченный период. Это показано в работах [19,
76]. Вдобавок и наибольшие температурные напряжения получаются, как правило, в
конце инерционного, то есть в начале упорядоченного этапа нагрева [56, 76].
Поэтому все дальнейшие решения будут относиться к упорядоченному этапу.
Инерционный же этап хорошо описан в [76] и здесь рассматриваться не будет
(кроме отдельных случаев). Дело в том, что теория термического слоя хорошо
разработана лишь для одномерных объектов с отсутствующими внутренними
источниками тепла [56].
Общих же исследовательских приемов для многомерных задач теплопроводности с
использованием метода термического слоя пока не существует. Если же заранее
задаваться фронтом прогрева, как в работе [13], то расчеты значительно
усложняются.
Что же касается вопроса о продолжительности этапа прогрева, то время окончания
инерционного этапа для прямоугольной слитка можно определить, исходя из
соображений, подобных изложенным в работе [18] (расчет времени твердения
призматических слитков), и использованных в работах [55, 58] при исследовании
нагревания слитков в условиях лучистого теплообмена:
или (2.1)
где - время прогревания неограниченной пластины толщиной . Оно может быть
вычислено из решения соответствующей одномерной задачи теплопроводности
пластины.
2.2. Моделирование теплового состояния слитка как задачи теплопроводности с
граничными условиями первого рода
Под граничным условием первого рода понимается заданный закон изменения
температуры на поверхности слитка как функция координат и времени. Этот
простейший вид граничных условий математически выражает наиболее
распространенные в технике физические условия передачи тепла [32, 34]. Такие
граничные условия обычно принимаются, при исследовании скоростного нагрева
слитков, нагрева слитков в методических печах (упрощенный вариант выполненный,
например в [75]), разогревании или охлаждении слитков в жидких средах (закалка
в масле) и т.п.
Для осесимметрично нагреваемого неограниченного (длинного) слитка граничное
условие запишется в виде (1.3). Задача (1.1), (1.2), (1.3) решается с
применением подстановки Фурье
(2.2)
она распадается на две одномерные краевые задачи
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Каждая из задач (2.3)-(2.5) решается с помощью МЭИ. Сначала рассматривалась
задача (2.3)1 с краевыми условиями (2.4), (2.5)
(2.6)
(2.7)
Разрешающее уравнение МЭИ для уравнения (2.3)1 примем в виде
(2.8)
где "эквивалентный источник"
(2.9)
Интегрируя (2.8) дважды по , получаем
(2.10)
Использованием граничных условий (2.6), (2.7) определяться функции
интегрирования
(2.11)
Подставляя (2.11) в (2.10) находим
(2.12)
Остается определить функцию интегрирования . Подставив выражение (2.12) в
интегральное условие (2.9), приходим к дифференциальному уравнению
(2.13)
Начальное условие для упорядоченного периода вытекает из выражений (1.2) и
(2.2):
(2.14)
Таким образом
(2.15)
Таким же путем можно получить подобные решения второй одномерной задачи:
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Окончательное решение задачи (1.1)..(1.3) имеет вид
. (2.22)
Функция (2.22) - это приближенное аналитическое решение задачи теплопроводности
слитка с граничными условиями первого рода.
Полученная функция (2.22) дает возможность провести всесторонний анализ
температурного состояния металлического слитка как объекта призматической
формы. Так, полагая в (2.22) те или иные значения координат и получаем функции
для определения характерных температур: центра сечения слитка
центра грани 1 (на середине стороны , то есть при ):
центра грани 2 (на середине стороны , то есть при :
температуры ребра (при ):
Пусть требуется рассчитать температурное поле длинного слитка квадратного
сечения () размерами 2Нх2Н, изображенного на рис. 2.1, (для простоты).
Температура греющей среды , начальная температура слитка . При чем известно,
как изменяется температура поверхностей слитка в зависимости от времени
(имеется в виду задача с граничными условиями первого рода).
Теплофизические характеристики материала [10, 84]: сталь 20 при , , , тогда
коэффициент температуропроводности [84].
Пусть слиток испытывает температурный удар, то есть температура его граней
мгновенно становится равной температуре греющей среды.
Рис. 2.1. Сечение длинного призматического слитка 2Н1х2Н2,()
Используя переход к безразмерным величинам (1.9) - , , .
Тогда функция для определения температуры центра будет иметь вид:
- Київ+380960830922