РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АСИММЕТРИЧНЫХ
НЕЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
2.1. Математическая модель асимметричной системы при
гармоническом воздействии
Характер возбуждения и режимы стационарных колебаний в НПС достаточно хорошо
исследованы в области субгармонических колебаний [3, 53, 71]. Имеются
публикации посвященные рассмотрению колебаний в высших зонах неустойчивости
[73, 75, 88], в которых предметом исследования служил нелинейный отклик системы
при различном характере воздействия. При этом принималось допущение об
идентичности параметров системы.
Наличие асимметрии системы приводит к возникновению в параметрическом контуре
тока «разбаланса». Это вызывает ударное параметрическое возбуждение системы и
оказывает влияние на ее амплитудные и частотные характеристики. Целью данного
подраздела является построение и анализ математической модели параметрических
взаимодействий нелинейной системы с внешней гармонической силой при отклонении
физических параметров элементов системы на некоторую величину и получение общих
уравнений для анализа нелинейных колебательных систем в произвольной зоне
неустойчивости колебаний.
Симметричная индуктивная НПС (рис. 1.3), параметрический генератор, при
воздействии гармонической накачки u(t)=U0+Um sin wt и аппроксимации нелинейной
характеристики намагничивания в виде:
, (2.1)
где a, b – коэффициенты аппроксимации;
B, H – мгновенные значения магнитной индукции и напряженности магнитного поля в
сердечнике,
описывается следующими уравнениями [74]:
где x=b(BI+BII); y=b(BI-BII); t=wt;
BI, BII – мгновенные значения индукции магнитного поля в первом и втором
магнитных сердечниках;
S и l – сечение и длина средней магнитной линии сердечников;
W1 и W2 – число витков в цепи возбуждения и резонансном контуре;
R1 и R2 – активные сопротивления соответственно цепи возбуждения и резонансного
контура;
C – емкость резонансного контура.
Собственная частота такой колебаний системы определяется как:
, где .
В свою очередь величины a и b зависят от магнитной проницаемости сердечника и
интенсивности приложенного воздействия.
Рассмотрим физические процессы в параметрическом генераторе при наличии
асимметрии внутренней структуры и гармоническом воздействии.
Для анализа процессов протекающих в колебательной системе, которая имеет
неидентичность физических параметров внутренней структуры, введем в данную
систему уравнений коэффициенты асимметрии –– e, d, r, h и x. Пусть коэффициенты
будут учитывать асимметрию системы через малые отклонение параметров ее
элементов от некоторого среднего значения.
Следовательно, неидентичность магнитных сердечников будет выражаться различием
коэффициентов аппроксимации нелинейности:
и разницей сечения и длины средней магнитной линии:
Неидентичность обмоток резонансного контура учитывается выражениями:
a1, a2, b1, b2, S1, S2, l1, l2,Wl2,Wll2, – параметры асимметричной системы.
Пренебрегая величинами второго порядка малости, при условии малости d (d®0)
имеем: sh dbB @ dbB, a ch dbB @ 1. Преобразуем исходную систему уравнений
относительно новых выражений. После преобразований имеем:
(2.2)
где - функции связи контура цепи возбуждения и резонансного контура;
остальные обозначения аналогичны выше рассмотренному случаю.
Построена новая система двух нелинейных дифференциальных уравнений с
переменными коэффициентами относительно мгновенных значений магнитной индукции.
Первое уравнение описывает цепь возбуждения, второе – резонансную. Коэффициенты
содержат конструктивные параметры системы. Система уравнений (2.2) определяет
совокупность всех физических процессов, протекающих в асимметричной нелинейной
системе.
Учет асимметрии системы в коэффициентах при соответствующих членах нелинейных
дифференциальных уравнений дает возможность оценить влияние разброса параметров
магнитных сердечников и числа витков при проектировании параметрических
генераторов. Величина переменной x пропорциональна напряжению на обмотках цепи
возбуждения, а y – на обмотках резонансного контура [73].
Для эффективного преобразования основным требованием к цепи возбуждения
параметрического генератора является малость активного сопротивления обмоток ,
следовательно, положим . Величина магнитной индукции в сердечниках связана
соотношением: [75]. Так как при возбуждении системы амплитуда накачки х
значительно превышает амплитуду колебаний у (х>>у), то после преобразований и
последующего интегрирования приведем первое уравнение системы (2.2) с учетом ее
реактивного характера к виду:
где – амплитуда постоянной и переменной магнитной индукции в цепи возбуждения;
j – угол сдвига фазы между возбуждающими колебаниями и изменением реактивности
в системе.
При подстановке х во второе уравнение системы (2.2) она приводится к уравнению
с одним неизвестным у, т.е. математической модели асимметричной системы при
гармоническом воздействии.
Проведем анализ построенной модели. Коэффициент определяет диссипативные
свойства системы, пропорционален квадрату собственной частоты и представляет
собой расстройку системы. Выбор аппроксимирующей функции (2.1) позволил
получить функции связи (взаимодействия в системе) D1–D4, которые аналитически
определяют связь между внешней силой и колебаниями системы.
Учет неидентичности параметров элементов системы привел к увеличению числа
слагаемых в уравнении. Асимметрия оказывает влияние, как на упругую, так и
диссипативную силы в системе. Кроме того, наличие асимметрии системы приводит к
возможности появления основной гармоники возбуждающего воздействия в колебаниях
системы.
Рассмотрим начальные условия для построенной математической модели – второго
уравнения системы (2.2) – без учета флуктуаций в резонанс
- Київ+380960830922