РОЗДІЛ 2.
ЗАДАЧІ ЕКСТРАПОЛЯЦІЇ ПОЛІВ
2.1. Екстраполяція полів дискретних аргументів.
2.1.1. Постановка задач.
Нехай сума однорідних та однорідно зв’язаних (у широкому розумінні) випадкових
полів спостерігається у всіх цілочисельних точках площини за винятком деякої
області (півплощини або чверті площини).
Розглянемо задачу лінійного оцінювання функціоналу
від невідомих значень однорідного випадкового поля , півплощина або чверть
площини. Необхідно за даними спостережень поля при знайти таку оцінку лінійного
перетворення з класу лінійних функціоналів, щоб мінімізувати величину
середньоквадратичної похибки . Найбільш поширеним методом знаходження
оптимальних екстраполяційних оцінок є метод, який базується на канонічній
факторизації спектральних щільностей та пошуку спектральних характеристик як
граничних значень аналітичних у деякій області функцій, що задовольняють певним
властивостям [74, 90, 91, 120, 121]. Моклячуком М.П. та Татаріновим С.В.
запропонований метод оцінки функціоналів від однорідного випадкового поля
дискретних аргументів, що спостерігається в точках з білим шумом. Цей метод
застосовується при умові, що спектральна щільність допускає канонічну
факторизацію
У випадку невідомої спектральної щільності поля Моклячук М.П. та Татарінов С.В.
[51, 53, 79] застосовують мінімаксний метод, що приводить до задачі на умовний
екстремум
, .
В даній роботі використаємо підхід до задач оцінювання, що базується на методі,
який узагальнює метод Колмогорова А.М., не вимагаючи канонічної факторизації
поля . Знайдемо мінімаксні оцінки та найменш сприятливі спектральні щільності
для конкретних класів спектральних щільностей. Класичні та мінімаксні оцінки
будемо знаходити за спостереженнями у півплощині та за спостереженнями в усіх
точках площини за винятком точок першої чверті.
2.1.2. Оптимальні оцінки за спостереженнями у півплощині.
Нехай випадкове поле спостерігається в точках , де та – однорідні та однорідно
зв’язані (у широкому розумінні) випадкові поля. Кореляційна структура таких
полів визначається додатньо визначеною матрицею спектральних щільностей. Нехай
виконується умова мінімальності [18, 74-78]
(2.1)
Розглянемо задачу лінійного середньоквадратичного оптимального оцінювання
функціоналу
від невідомих значень однорідного випадкового поля , якщо матриця спектральних
щільностей відома. Будемо вважати, що функція ,яка визначає функціонал,
задовольняє умови:
, (2.2)
де
За цих умов функціонал має скінчений другий момент і оператор у просторі
послідовностей із скінченою сумою квадратів, який задається співвідношенням
(2.3)
симетричний і компактний для [2]. Лінійна оцінка функціонала за даними
спостережень поля при має вигляд
Функція належить підпростору у просторі , породженому функціями при .
Необхідною та достатньою умовою оптимальності оцінки є умова ортогональності у
гільбертовому просторі випадкових величин другого порядку:
За цієї умови
де
, ;
, ;
(2.4)
– визначаються системою рівнянь
, ,
, ,
Якщо визначити оператори у просторі матрицями з елементами:
, які визначаються коефіцієнтами Фур'є функцій , , відповідно, то система для
визначення матиме вигляд
звідки
Спектральна характеристика оптимальної лінійної оцінки функціонала мінімізує
величину середньоквадратичної похибки
(2.5)
Отже справджуються такі твердження.
Теорема 2.1. Нехай – суміш однорідних та однорідно з’вязаних випадкових полів.
Нехай виконуються умови (2.1), (2.2). Спектральну характеристику та величину
середньоквадратичної похибки оптимальної оцінки функціонала від невідомих
значень поля за даними спостережень поля при можна обчислити за формулами
(2.4), (2.5).
Наслідок 2.1.1 Нехай - некорельованi однорідні випадкові поля, що мають
спектральні щільності , які задовольняють умову , . Нехай виконуються умови
(2.2). Спектральну характеристику та величину середньоквадратичної похибки
оптимальної оцінки функціонала від невідомих значень поля за даними
спостережень поля при можна обчислити за формулами
, (2.6)
(2.7)
де – скалярний добуток у просторі ; - оператори у просторі , які визначаються
коефіцієнтами Фур'є функцій , , , відповідно:
.
Наслідок 2.1.2 Нехай – однорідне випадкове поле, яке має спектральну щільність
, що задовольняє умову . Нехай виконуються умови (2.2). Спектральну
характеристику та середньоквадратичну похибку оптимальної оцінки функціонала
від невідомих значень однорідного поля за даними спостережень поля при можна
обчислити за формулами
(2.8)
(2.9)
де
, ,
- оператори у просторі , які визначаються співвідношенням (2.3) та
матрицею з коефіцієнтами Фур’є функції
визначає канонічну факторизацію спектральної щільності
Наслідок 2.1.3 Нехай - некорельованi однорідні випадкові поля, що мають
спектральні щільності , . Нехай виконуються умови (2.1), (2.2). Спектральну
характеристику та величину середньоквадратичної похибки оптимальної оцінки
функціонала від невідомих значень поля за даними спостережень поля при можна
обчислити за формулами
(2.10)
(2.11)
де - оператори у просторі , які визначаються коефіцієнтами Фур'є функцій , ,
відповідно:
У тому випадку, коли однорідне випадкове поле спостерігається без шуму, (),
спектральну характеристику та середньоквадратичну похибку оптимальної оцінки
функціонала від невідомих значень однорідного поля за даними спостережень поля
при можна обчислити за формулами
(2.12)
(2.13)
(2.14)
де
, ,
- оператори у просторі , визначається співвідношенням (2.3),визначається
матрицею з коефіцієнтами Фур’є функції :
визначає канонічну факторизацію спектральної щільності
Прикл
- Київ+380960830922