РОЗДІЛ 2
РОЗВ’ЯЗКИ РІВНЯНЬ ЕЙНШТЕЙНА ДЛЯ БЕЗМАСОВОГО РЕЧОВИННОГО СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ У
ВИПАДКУ ПЛАНАРНОЇ СИМЕТРІЇ
Вступ
Як було показано в роботах [1-7], спонтанне порушення симетрії в ранньому
Всесвіті може приводити до утворення планарно симетрічних структур, наприклад
таких як доменні стінки та космічні мембрани
У найпростішій моделі створення доменної структури відбувається при порушенні
дискретної симетрії, в результаті якої в різноманітних ділянках простору – часу
встановлюються різноманітні значення поля [5,65-67]. У цьому випадку дві
сусідні ділянки простору – часу, що мають різноманітні значення поля, відділені
одна від одної доменною стінкою.
Доменні стінки, що виникають при високих температурах у ранньому Всесвіті з
космологічної точки зору проблематичні, оскільки призводять до створення
великомасштабної анізотропії реліктового випромінювання, що не підтверджується
експериментальними спостереженнями [5]. Проте доменні стінки, що утворилися
після відділення мікрохвильового фону не призводять до створення
великомасштабної анізотропії [68]. Такі доменні стінки іноді називають
“легкими” доменними стінками. “Легкі” доменні стінки мають достатньо великий
градіент густини й отже потенціал джерела і густину флуктуацій, які необхідні
для створення великомасштабної структури, що спостерігається у Всесвіті [1].
Вперше розв'язок рівнянь Ейнштейна, що описує гравітаційне поле нескінченно
тонкої планарно симетричної доменної стінки, у лінійному по гравітаційному полю
наближенні, було знайдено в роботі [10]. У цьому розв'язку енергія вакууму з
обох сторін від стінки вважалася рівною нулю. Але оскільки лінійне наближення
для гравітаційного поля порушується на великих відстанях, то такий підхід є
мало інформативним при вивченні глобальної структури гравітаційного поля. Проте
при дослідженні руху пробної частинки поблизу такої доменної стінки був
виявлений ефект гравітаційного відштовхування. Також слід зазначити результати
які були отримані в роботах [68, 69], де “товсті” доменні стінки пропонувалися
на роль “легких” доменних стінок.
У цьому розділі нас буде цікавити можливість виникнення “товстої” планарно
симетричної структури в просторі-часі, який заповнений безмасовим речовинним
скалярним полем. Для того, що б відповісти на це запитання необхідно
проаналізувати систему рівнянь Ейнштейна
, (2.1.1)
де – тензор Ейнштейна; – тензор енергії імпульсу для, безмасового речовинного
скалярного поля; G – гравітаційна стала Ньютона, тобто знайти зв'язок метричних
функцій, які відповідають максимально загальному вигляду планарно-симетричної
квадратичної форми, із потенціалом, безмасового речовинного скалярного поля.
При цьому, оскільки, компоненти тензора Ейнштейна [61] задовольняють
тотожності:
, (2.1.2)
де крапка з комою позначає коваріантне диференціювання
то будемо вимагати виконання тотожності:
. (2.1.3)
Тензор енергії імпульсу безмасового, речовинного скалярного поля має вигляд
[70]:
, (2.1.4)
де gб в – метричний тензор зовнішнього простору-часу, ц – потенціал скалярного
поля, ; ц,б = ? ц/? xб ; б =0, 1, 2, 3.
Найбільш загальним планарно симетричним виразом для [90] є
, (2.1.5)
де – деякі функції від t, z. Але оскільки в загальній теорії відносності існує
довільність у виборі системи відліку, ми можемо ще піддати координати
будь-якому перетворенню, що не порушує планарної симетрії [71]; це означає, що
ми можемо перетворити координати z і t за допомогою формул , де – будь-які
функції від нових координат . Скориставшись цією можливістю, виберемо
координати z, t таким чином, щоб, по перше, функція А(z, t) при dtdz у виразі
для дорівнювала нулю і, по друге, функція дорівнювала . Відзначимо, що такий
вибір координат продиктовано винятково зручністю для подальшої роботи. З
урахуванням сказаного вище, вираз для (2.1.5) може бути подано у вигляді
. (2.1.6)
Оскільки функції н , B залежать тільки від t, z, то і компоненти тензора
Ейнштейна Gб в= Gб в(t, z).
Тоді для того, щоб забезпечити самоузгодженість рівнянь Ейнштейна, необхідно
потребувати Tбв=Tбв(t, z); ц = ц(z, t).
Система рівнянь Ейнштейна для безмасового речовинного
скалярного поля у випадку планарної симетрії
Використовуючи явний вигляд метричного тензора (2.1.6), розпишемо (2.1.4)
покомпонентно:
(2.2.1)
Відомо, що для безмасового поля слід тензора енергії-імпульсу дорівнює нулю T =
Tб б =0. Тоді з (2.2.1) маємо
, (2.2.2)
отже , (2.2.3)
підставляючи (2.2.3) у (2.2.1), находимо
. (2.2.4)
Випишемо відмінні від нуля компоненти рівнянь Ейнштейна для (2.1.6)
, (2.2.5)
, (2.2.6)
, (2.2.7)
, (2.2.8)
де .
Легко перевірити що, співвідношення (2.1.3) для (2.1.4) може бути подане у
вигляді
. (2.2.9)
Розписуючи явно (2.2.9) для (2.1.6) маємо:
, (2.2.10)
із (2.2.3) , (2.2.11)
звідки . (2.2.12)
Використовуючи (2.2.11), (2.2.12), перепишемо співвідношення (2.2.10) як
, (2.2.13)
звідки . (2.2.14)
Використовуючи (2.2.4), (2.2.14) для (2.2.6), одержуємо
, (2.2.15)
звідки
. (2.2.16)
Одержана вище функціональна залежність для метричних функцій н, B і потенціалу
ц від t±z не випадкова та пов’язана з безмасовостю скалярного поля. Позначимо
. (2.2.17)
Підставляючи (2.2.1), (2.2.12), (2.2.14),
- Київ+380960830922