РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ПОШИРЕННЯ ПЛАСТИНЧАТИХ УЛЬТРАЗВУКОВИХ ХВИЛЬ
2.1 Загальні положення
Побудова теорії поширення пластинчатих ультразвукових хвиль базується на
поширенні об’ємної ультразвукової хвилі у необмеженому просторі. Для цього
використаємо відому систему рівнянь Ньютона руху елементарного пружного об’єму,
яка зображена в Декартовій системі координат. Результат виведення представимо у
вигляді залежності напружень та зміщень граней елементарного об’єму пружного
тіла від таких параметрів ультразвукової хвилі та середовища поширення, як
частота, акустичний імпеданс, значення хвильового числа, товщина шару пластини.
Задаємось граничними умовами, що відповідатимуть руху граней елементарного
об’єму та відповідних напружень у площині, яка паралельна границі розділу
пластини і навколишнього середовища. Отримані рівняння для пластини служитимуть
основою для математичної моделі поширення пластинчатої ультразвукової хвилі у
багатошаровому просторі. Для застосування отриманих рівнянь на практиці
потрібно розробити метод їх розв’язку відносно таких параметрів ультразвукової
хвилі, як акустичний імпеданс та товщина середовища. Для цієї мети ми
використаємо метод коефіцієнтів передачі, що дозволить описати пластинчату
ультразвукову хвилю на виході багатошарового середовища через її параметри на
вході у перший шар. Результатом розв’язку характеристичного рівняння
передаточної матриці будуть амплітуди мод пластинчатих ультразвукових хвиль, за
допомогою яких можна описати поширення мод пластинчатих ультразвукових хвиль у
багатошаровому середовищі. При поширенні пластинчатих ультразвукових хвиль у
реальному пружному середовищі враховується явище загасання амплітуди хвилі.
Розглядається втрата енергії в двох напрямках: по-перше, це демпфування хвиль
матеріалом, так як він не є ідеально пружним; по-друге, вихід хвиль за межі
шару пластини, як складової частини розробленої моделі поширення пластинчатих
хвиль.
На основі розробленої математичної моделі поширення пластинчатих хвиль у
реальному середовищі виводиться рівняння залежності групової швидкості
поширення коливань від величини напружено-деформованого стану пружного
середовища. Це рівняння буде основою для подальших розробок пристрою та
проведення лабораторних і натурних вимірювань.
2.1.1 Основні поняття теорії поширення пластинчатих ультразвукових хвиль
У теорії ультразвуку існує два основні типи коливань. Перший тип – це
повздовжні коливання, при якому рух частинок середовища має місце тільки в
напрямку розповсюдження. Як показано на рис. 2.1, під дією сили акустичного
тиску середовище стискується та розширюється на величину u в напрямку z. Другий
тип – це поперечні коливання, в яких рух частинок середовища напрямлений
поперечно до напрямку поширення (рис. 2.2).
Сила акустичного тиску в напрямку зміщення елементарного об’єму, віднесена до
цього об’єму, називається напруженням s. У випадку поздовжнього типу коливань
напруження має тільки одну складову в напрямку осі z, а для поперечних коливань
дві - sz та sу.
Закон руху частинок поздовжньої хвилі uz в часі t в будь-якій площині, що
містить вісь z, можна описати функцією синуса :
, (2.1)
де j0 – початкове зміщення за фазою,
Au – амплітуда коливань,
w - кутова частота.
Рис. 2.1. Розповсюдження повздовжної хвилі.
Рис. 2.2. Розповсюдження поперечної хвилі.
Для проведення математичних розрахунків (2.1) представляють у комплексній
формі, згідно формули Ейлера:
(2.2)
де j - зміна фази коливань;
і – уявне число, .
Таким чином, (2.1) можна зобразити в такій формі:
(2.3)
де .
Як видно з (2.2) фізичний зміст має тільки дійсна складова експоненціальної
функції, а уявну можна відкинути при представленні результатів, так як частинки
коливаються в тій же площині, що і напрям поширення хвилі. Рівняння (2.1) –
(2.3) описують ідеальні поздовжні коливання. У випадку поширення поздовжньої
ультразвукової хвилі в реальному середовищі закон руху є дещо складнішим.
Для запису ідеальних поперечних коливань потрібно розглянути рух частинок у
двох взаємоперпендикулярних напрямках y та z:
(2.4)
де Auy, Auz – амплітуди коливань у напрямках позначених другим індексом;
j1, j2 – початкові фази двох коливань.
Траєкторію результуючого руху в будь-якій площині, що перпендикулярна напрямку
поширення поперечних коливань, будемо шукати у формі еліпса. Форму еліпса можна
знайти, виключивши в (2.4) змінну часу t:
(2.5)
де y, z – декартові координати.
Траєкторія має форму еліпса (рис. 2.3), причому будь-яка точка, що належить
цьому еліпсу, наприклад M, описує її рух за час, який дорівнює періоду T:
(2.6)
тому поперечні коливання називають поляризованими у площині, що перпендикулярна
напрямку поширення x.
Для зручності здійснення подальших теоретичних досліджень окреслимо поняття
об’ємних ультразвукових хвиль та пластинчатих хвиль, що поширюються у
хвилеводах.
Загалом, в об’ємі пружного тіла можуть поширюватись тільки два види
ультразвукових хвиль – поздовжня та поперечна. Для математичного опису їх
поширення не потрібно задавати границі розділу середовищ, оскільки ці хвилі
можуть поширюватись в об’ємі пружного тіла в будь-якому напрямку. При цьому
швидкість їх поширення не залежить від частоти коливань. Тому такі хвилі, що
поширюються в об’ємі тіла незалежно від границь розділу середовищ, будемо
називати об’ємними хвилями.
Рис. 2.3. Траєкторія руху поперечного коливання:
Auy, Auz – амплітуди коливань; x, y, z – координати;
М – точка треєкторії коливань.
На відміну від об’ємних хвиль, у хвилеводах виникають і поширюються інші типи
хвиль. Вони можуть існувати тільки при наявності границь розділу середови
- Київ+380960830922