РОЗДІЛ 2
Теорія формоутворення поверхні зубчастих коліс при зубофрезеруванні
Для моделювання обробки поверхні зубчатого колеса необхідно проаналізувати
кінематичні рухи інструменту та заготовки у вибраній системі координат. При
зубофрезеруванні розглянемо наступні системи координат (рис.2.1).
Рис. 2.1. Схема розташування систем координат при зубофрезеруванні.
Де:
-S(X, Y, Z)
- система зв’язана зі стійкою верстата;
-S1(X1, Y1, Z1)
- система зв’язана з фрезою;
-S2(X2, Y2, Z2)
- допоміжна система координат;
-S3(X3, Y3, Z3)
- система зв’язана з колесом, що нарізається.
Установочні параметри:
-А
- міжосьова відстань;
-г
- кут розвороту фрези.
При зубофрезеруванні фреза та колесо здійснюють наступні рухи: обертання
навколо своїх осей; рух обкату тобто зміна параметрів ц, ц3, де кути повороту
ц, ц3, зв’язані між собою наступною залежністю i12=ц/ц3 (i12-передаточне
відношення пари фреза-колесо ланцюга обкату на верстаті); рух фрези вздовж осі
колеса – рух подачі, тобто зміна параметра ш.
Розглянемо схему нарізання зубчастих коліс правозаходними фрезами, кут г>0 ,
попутна подача ш<0, зустрічна подача ш>0. Зв’язок між системами координат
визначається наступними залежностями:
, (2.1)
Вихідною інструментальною поверхнею черв’ячної фрези є гвинтова лінійчата
поверхня. Для оцінки похибок архімедових та конволютних черв’яків, на базі яких
проектуються черв’ячні фрези, необхідно розглянути поверхні цих черв’яків у
порівнянні з евольвентним.
Так як архімедові, конволютні та евольвентні черв’яки відносяться до
лінійчатих гвинтових поверхонь , розглянемо узагальнену матричну модель
лінійчатих гвинтових поверхонь.
2.1. Узагальнена матрична модель лінійчатих гвинтових поверхонь
Для спрощення задачі приймемо, що фреза володіє неперервною різальною
кромкою, тобто маємо неперервною гвинтову поверхню.
У загальному випадку лінійчата гвинтова поверхня утворюється в результаті
гвинтового руху прямолінійної твірної заданою в довільному перерізі У (рис2.2),
де Z1 – вісь гвинтового руху, в1 - кут нахилу площини У до осі Z1, б – кут
нахилу твірної бічної гвинтової в площині У, А1- параметр симетричної установки
западини, або витка черв’яка відносно початку координат (вісь Х1) .
Рис.2.2. Утворення гвинтової лінійчатої поверхні.
У площині У прямолінійна твірна задається в системі координат Su(Xu, Yu, Zu).
Система Su(Xu, Yu, Zu) співпадає із системою S1(X1, Y1, Z1) по осі X і
повернута навколо неї на кут в1 (рис2.3).
Рис.2.3. Задання прямолінійного твірного профілю.
Де ra, rd, rf – відповідно радіус вершин, ділильній та западин точок профілю,
що належать осі Xu, Su – ширина профілю на вибраному радіусі (найбільш
поширений є ділильний радіус), u – параметр, що відповідає положенню точки на
прямолінійній твірній. Рівняннями прямолінійної твірної в системі Su(Xu, Yu,
Zu) для правої та лівої сторони будуть:
, (2.2)
Рівняння (2.2) відносяться до черв’яків з прямолінійним профілем по перерізу
витка.
Черв’яки, які задані прямолінійним перерізом по западині для черв’яків на
рис2.4.
Рис.2.4. Задання черв’яка прямолінійним профілем по перерізу витка.
Запишемо рівняння прямолінійної твірної в системі Su(Xu, Yu, Zu) для правої та
лівої сторони черв’яка прямолінійним профілем по перерізу витка:
, (2.3)
Матриця переходу від системи Su(Xu, Yu, Zu) до системи S1(X1, Y1, Z1):
, (2.4)
Матриця руху вибраної твірної в системі S1(X1, Y1, Z1) по гвинтовій лінії
(матриця афінного перетворення) [99] відносно осі Z1:
, (2.5)
де p – гвинтовий параметр черв’яка, t – незалежний параметр, що відповідає за
гвинтовий рух. Рівняння гвинтової бічної поверхні черв’яка запишеться, як
добуток вектора твірної R відповідних матриць переходу та перетворень m1u, mt:
, (2.6)
Після підстановки в (2.6) значень з (2.2), (2.3), (2.4) одержимо рівняння
бічної поверхні правого черв’яка заданого прямолінійним перерізом по западині
витка отримуємо в розгорнутому вигляді:
, (2.7)
Для черв’яка заданого прямолінійним перерізом по витку, рівняння бічної
сторони поверхні буде:
, (2.8)
Для лівої гвинтової поверхні необхідно значення кута нахилу в1 площини У
підставляти з знаком -, і матриця гвинтового руху (2.4) буде мати вигляд:
, (2.9)
Результат побудови за виразами (2.6), (2.7) наведений на (рис 2.5).
Рис.2.5. Лінійчатий черв’як.
Розглянемо рівняння кожної з гвинтових поверхонь конволютної, архімедової, та
евольвентної.
2.1.1. Конволютна гвинтова поверхня
Конволютною гвинтовою поверхнею називається гвинтова поверхня утворена
прямолінійним профілем у перерізі нормальному до гвинтової лінії на ділильному
циліндрі. Якщо в рівняннях (2.7) прийняти в1=в то отримаємо рівняння
конволютної поверхні лівої сторони витка , заданої прямолінійним профілем по
западині витка:
, (2.10)
де в – кут нахилу гвинтової лінії на ділильному циліндрі. У системі S(X, Y, Z)
воно запишеться:
, (2.11)
Нормаль до конволютної поверхні заданою рівнянням (2.10) запишеться:
, (2.12)
2.1.2. Архімедова гвинтова поверхня
Архімедовою гвинтовою поверхнею називається гвинтова поверхня утворена
прямолінійним профілем в осьовому перерізі. Якщо в рівняннях (2.7) прийняти
в1=0 то отримаємо рівняння архімедової поверхні лівої сторони витка:
, (2.13)
У подальшому розглядати будемо тільки одну сторону витка, беручи до уваги те,
що спряжений профіль з прот