РАЗДЕЛ 2
РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ 3D ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ ЛОПАСТЕЙ РАБОЧЕГО КОЛЕСА ПЛ ГИДРОТУРБИНЫ ВЯЗКИМ ПОТОКОМ
Одной из наиболее важных и трудных задач гидродинамики гидравлических турбин является моделирование отрывного обтекания лопасти рабочего колеса конечной толщины в широком диапазоне режимов работы, а также определения его силовых и моментных характеристик.
Настоящая работа является продолжением нестационарных подходов[11], которые позволили не только качественно описать процесс отрывного обтекания лопасти, но и получить количественные результаты, удовлетворительно согласующиеся с опытными данными. Ниже излагается методика расчета отрывного обтекания лопасти рабочего колеса ПЛ гидротурбины в рамках нестационарной нелинейной теории, основанной на моделях идеальной среды и пограничного слоя. При этом моделирование отрывного обтекания лопасти осуществляется с использованием гипотез и допущений, которые общеприняты в этих моделях.
2.1. Постановка задачи
Рассмотрим обтекание лопасти вязкой несжимаемой жидкостью (рис.2.1). Введем связанную с лопастью систему координат ОХYZ, поместив начало координат на оси вращения и направив ось ОY по оси поворота лопасти.
Пусть в некоторый момент времени t=0 граничные условия на лопасти начинают изменяться по произвольному закону, причем
Wn=f(x0,y0,z0,t). (2.1)
Здесь Wn - нормальная составляющая переносной скорости в точке на поверхности лопасти с координатами x0,y0,z0; f(x0,y0,z0,t) - известная функция координаты времени.
Рис.2.1. Расчетная схема
При обтекании лопасти вязким потоком течение будем делить на две области: область невязкого течения вне лопасти и пограничного слоя и область вязкого течения в пограничном слое.
Пусть в общем случае отрывного обтекания на рабочей стороне поток сходит с выходной кромоки лопасти, а на тыльной (выпуклой) стороне поверхности по линии Ls (рис.2.1). Это приводит к движению жидкости с образованием поверхностей тангенциального разрыва скорости - вихревых пелен. Пусть эти поверхности описываются уравнением вида ?i(x,y,z,t)=0(i=1,2,3), а уравнение поверхности лопасти имеет вид: S(x0,y0,z0)=0. Предположим, что везде вне поверхности лопасти, пограничного слоя и вихревого следа течение является безвихревым. Тогда для потенциала возмущенных скоростей ?(x,y,z,t) справедливо уравнение Лапласа:
вне S и ?i. (2.2)
На поверхности лопасти необходимо выполнять условия непротекания.
( - ) = 0 , (x,y,z) S (2.3)
или
Здесь - оператор Гамильтона; = {wxs,wys,wzs} - вектор скорости движения точек лопасти; = {cos(n,x),cos(n,y),cos(n,z)}- орт внешней нормали к поверхности лопасти S в рассматриваемой точке.
При переходе через поверхности ?i вихревого следа должно соблюдаться условие непрерывности давления и нормальной составляющей скорости
(2.4)
Индексы (+) и (-) обозначают разные стороны поверхности ?i.
На бесконечном удалении от лопасти и ее следе возмущения, создаваемые ими, затухают, поэтому
, (2.5)
На задней и боковых кромках лопасти, с которых сходят вихревые пелены, должна выполняться гипотеза Чанлыгина-Жуковского о конечности скоростей. Обозначив через Ls линию схода потока, запишем
(2.6)
Кроме того, поскольку рассматривается нестационарная задача, то в любой момент времени должна выполнятся теорема Томсона [64,75] о неизменной циркуляции скорости по любому замкнутому контуру, проведенному через одни и те же частицы жидкости.
Следовательно, расчет гидродинамических характеристик лопасти сводится к нахождению потенциала возмущенных скоростей ?(x,y,z,t), удовлетворяющего всем перечисленным выше условиям, которые должны выполнятся в каждый расчетный момент времени для рассматриваемого нестационарного обтекания лопасти. Кроме того, в каждый расчетный момент необходимо знать положение линии Ls отрыва потока с верхней поверхности лопасти (рис.2.1)
Сформулированная задача является нелинейной. Для лопасти это означает, что на величину угла атаки ?, кривизну и толщину лопасти ограничения не накладываются, а граничное условие (2.1) выполняется непосредственно на поверхности лопасти, вихревой след за лопастью может деформироваться.
2.2. Система интегро-дифференциальных уравнений отрывного обтекания тел
При нестационарном отрывном обтекании тел (плоских или пространственных) допускается сход вихревых пелен, состоящих из свободных вихрей, с острых кромок или отрыва пограничного слоя с гладких поверхностей.
Свободные вихри движутся со скоростью частиц, с которыми они совпадают.
Задача нахождения аэродинамических характеристик обтекания рассматриваемого тела сводится к нахождению интенсивности гидродинамических особенностей на теле, вихревого слоя на поверхности и в следе из следующих основных условий:
1. Поверхность тела является непротекаемой, т.е. на ней
(2.7)
где - скорость, индуцируемая гидродинамическими особенностями на поверхности тела и вихревыми пеленами, сошедшими к настоящему моменту с тела;
- скорость набегающего потока;
- орт нормали к поверхности тела.
2. Чтобы на пелене свободных вихрей не было перепада давлений, точки этой пелены движутся со скоростями частиц, с которыми они совпадают.
3. По жидкому контуру, охватывающему тело и след за ним, циркуляция скорости равна нулю.
Уточним условия (2.1) и (2.2) в общем случае, так как условие (2.3) будет выглядеть по-разному в зависимости от способа представления вихревых образований дискретными структурами. Пусть обтекаемое тело имеет поверхность S, которую моделируют панелями источников-стоков и вихрями. С этой поверхности сходят k штук вихревых пелен ?р, р=1,2,...,k, свободных вихрей. Скорость, индуцируемую в точке М в момент t этими особенностями и вихревыми образованиями, будем обозначать соответственно через (M,t) и р(М,t), р=1,2,...,k, а набегающим потоком - через (M,t). Теперь уравнение (2.7) в точке Мо поверхности S запишетс