РОЗДІЛ 2
БАГАТОПАРАМЕТРИЧНІ ОБЕРНЕНІ ЗАДАЧІ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЯМИ З ЗАДАНИМИ НОСІЯМИ ТА ЦІЛИМИ ФУНКЦІЯМИ ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНОГО ТИПУ
2.1. Обернена задача наближення функціями з заданими носіями
У цьому підрозділі встановлюються умови розв'язності важливої для подальшого допоміжної багатопараметричної оберненої задачі наближення в за допомогою функцій з заданими носіями. Однак цей результат, на нашу думку, має також певну самостійну цінність.
Усі функціональні простори, що зустрічаються в перших двох підрозділах цього розділу, складаються або з дійснозначних, або з комплекснозначних функцій, а у підрозділах 2.3 і 2.4 - з комплекснозначних. Нехай , , , , а - нульовий вектор простору . Для , , вважаємо, що , а також , якщо (відповідно ) при всіх . Позначимо через та , де , декартів добуток відрізків та півінтервалів відповідно.
Нехай , , - простір вимірних відносно -алгебри числових функцій на , для яких величина скінченна (при це норма).
Нехай також - задане вимірне відображення (точніше, -вимірне, де - борельова -алгебра підмножин ). Через позначатимемо прообраз множини при відображенні , тобто .
Покладемо
, . (2.1.1)
У подальшому скрізь, окрім зауважень (2.1.3) та (2.1.5), припускатимемо, що
. (2.1.2)
Безпосередньо з означення випливає, що сукупність множин задовольняє умовам:
, , ; (2.1.3)
, ; (2.1.4)
, ; (2.1.5)
. (2.1.6)
Зауважимо, що коли - деякий простір з мірою, , то у подальшому виконання деякої умови для -майже всіх ми розуміємо у наступному сенсі: знайдеться така множина , , що дана умова виконується для всіх .
Визначимо підпростір рівністю
, .
У цьому підрозділі досліджено питання, за яких умов на функцію існує такий елемент , що
, . (2.1.7)
При цьому будемо називати розв'язком оберненої задачі (2.1.7).
Зауважимо, що точну нижню межу у співвідношенні (2.1.7) реалізує функція , , , , тому рівність (2.1.7) еквівалентна наступній , .
Надалі вважаємо, що , оскільки у випадку функція тотожно дорівнює нулю.
Нехай функція , а . Через позначимо приріст функції по -тій змінній на півінтервалі , тобто
-
-, .
Число називається приростом функції на брусі . Наприклад, якщо , то = .
Означення [35, гл.II, п.5.2]. Функція називається неспадною (незростаючою) за сукупністю змінних, якщо для всіх , справедлива нерівність ( відповідно).
При дане поняття співпадає зі звичайним поняттям неспадної на функції, оскільки нерівності і , равносильні.
Нехай функція є неспадною за сукупністю змінних і неперервною справа ( тобто , ). Відомо [35, гл.II, §5], що така функція породжує міру Лебега - Стілтьєса на деякій -алгебрі підмножин , яка містить борельову -алгебру . Звуження цієї міри на позначається через . Зауважимо, що =, . Якщо ж неперервна справа функція є незростаючою за сукупністю змінних, то буде неспадною за сукупністю змінних, а отже, породжуватиме деяку міру Лебега - Стілтьєса, звуження якої на позначається через . При цьому =, .
Для сукупності множин покладемо , , а також , .
Лема 2.1.1. Функція неспадна за сукупністю змінних і неперервна справа на .
Доведення леми 2.1.1. Покладемо , . Тоді відображення також буде вимірним. Для позначимо через прообраз множини при відображенні . З (2.1.1) випливає співвідношення
, . (2.1.8)
Рівність , , визначає міру на . Тому, в силу формули (2.1.8),
, .
Звідси, врахувавши неперервність міри зверху, отримаємо, що функція неперервна справа. Наслідком останньої рівності також є співвідношення
, , (2.1.9)
з якого випливає, що функція неспадна за сукупністю змінних.
Лему доведено.
Продовжимо функцію зі співвідношення (2.1.7) на наступним чином
, . (2.1.10)
Нагадаємо, що міра називається абсолютно неперервною відносно міри на деякій -алгебрі (позначається ), якщо для кожної множини такої, що , виконується рівність . При цьому існує похідна Радона - Никодима , яка є вимірною (відносно ) функцією [87, гл. 6, §32].
Введені позначення дають змогу сформулювати основний результат.
Теорема 2.1.1. Для існування функції , що задовольняє співвідношення (2.1.7), необхідно і достатньо, щоб функція була незростаючою за сукупністю змінних, неперервною справа на , , , а також . При цьому можна задати так:
. (2.1.11)
Доведення теореми. Необхідність. Для кожної функції при фіксованому її елемент найкращого наближення з підпростору задається формулами: , , та , . Тому
, . (2.1.12)
Звідси, поклавши , , отримаємо, що
, . (2.1.13)
Покладемо , , , , де відображення визначене у доведенні леми 2.1.1. При цьому та є мірами на -алгебрах та відповідно. Враховуючи формулу (2.1.8), отримуємо співвідношення
, ,
наслідком якого є рівність
, . (2.1.14)
Звідси випливає, що функція є неспадною за сукупністю змінних, а отже, такою ж є і функція , яка відрізняється від на сталу. Неперервність справа та співвідношення при одержуємо з формули (2.1.12) та властивостей (