РОЗДІЛ 2
ТРИТОЧКОВІ РІЗНИЦЕВІ СХЕМИ ВИСОКОГО ПОРЯДКУ ТОЧНОСТІ ДЛЯ МОНОТОННИХ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
У цьому розділі для нелінійних монотонних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з крайовими умовами 1-го роду на нерівномірній сітці побудовано точну триточкову різницеву схему (ТТРС), досліджено існування та єдиність її розв'язку. Крім того, розроблено алгоритмічну реалізацію ТТРС через триточкові різницеві схеми (ТРС) рангу (ціле додатнє, ціла частина), доведено існування та єдиність розв'язку таких схем, встановлено оцінки їх точності. Ефективність запропонованого підходу ілюструється на чисельних прикладах.
Основні результати розділу опубліковані в роботах [119], [22].
2.1. Постановка задачі. Існування та єдиність розв'язку
Розглянемо нелінійну крайову задачу
(2.1)
де задані функції, а задані числа.
Зазначимо, що задачу (2.1) можна звести до крайової задачі для систем ЗДР 1-го порядку, однак при цьому отримана система рівнянь 1-го порядку втрачає властивість монотонності. Для систем звичайних диференціальних рівнянь 1-го порядку в [126, 127] побудовано та обгрунтовано точну двоточкову різницеву схему, а також розроблена її реалізація через двоточкові різницеві схеми будь-якого порядку точності, однак обгрунтування дано тільки для задач з малими сталими Ліпшиця. Побудовану в цьому розділі ТТРС та ТРС довільного порядку точності обгрунтувано для монотонних крайових задач, які можуть мати великі сталі Ліпшиця.
Функцію будемо називати слабким розв'язком задачі (2.1), якщо і виконується співвідношення
Достатні умови існування та єдиності слабкого розв'язку задачі (2.1) дає
Теорема 2.1. Нехай виконуються умови
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
тоді задача (2.1) матиме єдиний розв'язок , причому
Тут сталі, клас функцій з кусково-неперервними похідними до го порядку включно зі скінченим числом точок розриву першого роду.
Доведення. Оскільки, згідно (2.3) функція володіє властивістю Каратеодорі [61, с.63] і належить простору , то визначимо оператор за допомогою співвідношення:
,
яке справджується для
Оператор обмежений. Дійсно, з урахуванням нерівності Коші-Буняковського, умов (2.2) та (2.4) отримаєм
,
де
Якщо в просторі , то
в просторі [61, с.113]. Отже, для маємо
тобто оператор демінеперервний.
Покажемо, что оператор сильно монотонний. Враховуючи умови (2.2), (2.5), нерівність , отримаємо
де згідно з (2.6) а
Із сильної монотонності випливає коерцитивність оператора .
Отже, на підставі теореми Браудера [61, с.204] існує єдиний розв'язок задачі (2.1).
Оскільки
майже скрізь на [0,1], тобто потік є невизначеним інтегралом Лебега, то ця функція є абсолютно неперервною на [0,1]. Звідси випливає, що Крім того
тому
2.2. Існування точної триточкової різницевої схеми
Виберемо на інтервалі нерівномірну сітку
так, щоб точки розриву функцій збігалися з вузлами сітки . Множину всіх точок розриву позначимо через і будемо вважати, що таке, що . В точках розриву зв'яжемо розв'язок задачі (2.1) умовами неперервності
Розглянемо крайові задачі
(2.7)
Лема 2.1. Нехай виконані умови теореми 2.1, тоді задачі (2.7) мають єдиний розв'язок, причому для розв'язку крайової задачі (2.1) буде справджуватись зображення
(2.8)
Доведення. Враховуючи, що функція володіє властивістю Каратеодорі і є елементом простору [61, с.63], введемо нелінійний оператор за допомогою співвідношення
яке справджується для
Функція є слабким розв'язком задач (2.7), якщо
де задана функція з яка задовольняє крайові умови.
Покажемо, що вектор-оператор обмежений. Використовуючи нерівність Коші-Буняковского, з врахуванням (2.2),(2.4) отримаємо
Демінеперервність оператора випливає з умови (2.4). Дійсно [61, с.113], якщо в просторі , то
в просторі . Таким чином, для
тобто оператор демінепервний.
Покажемо, що оператор сильно монотонний. Враховуючи умови (2.2), (2.5) та нерівність матимемо
Із сильної монотонності випливає коерцитивність оператора .
Отже, згідно з теоремою Браудера [61, с.204] існує єдиний розв'язок задачі (2.7).
З того, що функція є розв'язком задачі (2.7) випливає, що вона є розв'язком задачі (2.1), який згідно умов леми єдиний.
За допомогою леми доводиться
Теорема 2.2. Нехай виконані умови теореми 2.1, тоді для задачі (2.1) існує ТТРС
(2.9)
яка має єдиний розв'язок , який є також розв'язком задачі (2.1) в вузлах сітки , де
(2.10)
функція в правій частині (2.9) визначається згідно формули (2.8) і залежить тільки від .
Доведення. Подіємо оператором на рівняння (2.1), тоді
де
Таким чином
що з врахуванням (2.8) доводить існування ТТРС (2.9), (2.10).
Для доведення єдиності розв'язку ТТРС (2.9), (2.10) розглянемо оператор
визначений в скінченновимірному гільбертовому просторі зі скалярними добутками
і нормами
Згідно умови (2.4) оператор неперервний. Покажемо, що оператор сильно монотонний. Дійсно, враховуючи рівність
маємо
де функції визначені згідно з (2.8). Тоді, використовуючи (2.5),
Отже,
(2.11)
З урахуванням нерівності де , умови (2.6) маємо
де Оскільки
то
.
Отже
(2.12)
тобто оператор - сильно монотонний. Звідси випливає [107, с.461], що рівняння має єдиний розв'язок.
2.3. Метод простої ітерації розв'язування точних триточкових різницевих схем
Лема 2.2. Нехай виконані умови теореми 2.1 і
тоді ітераційний метод
(2.13)
збігається в енергетичному просторі і для похибки має місце оцінка
(2.14)
де
Доведення. Із (