РАЗДЕЛ 2
АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
2.1. Алгоритмы численной реализации интегральных динамических моделей первого рода
Для решения задач восстановления входных воздействий (сигналов) динамических объектов применяются интегральные уравнения Вольтерра I рода, в которых отсутствует искомая функция вне знака интеграла. По аналогии с данным классом уравнений в работе употребляется понятие динамической модели I рода.
Для решения интегральных уравнений Вольтерра применяются аналитические, операционные, квадратурные, итерационные и другие методы [3,6,24,25,33,56,57,60,91,94,96,97]. Применение аналитических методов решения уравнений Вольтерpa возможно лишь в некоторых частных случаях, прежде всего, при аналитическом задании ядра и правой части решаемого уравнения [31]. Некоторые принципиальные трудности имеются также при применении аналитических методов к задачам восстановления входных сигналов динамических систем, что объясняется в том числе и тем, что ядро и правая часть системы уравнения обычно имеют экспериментальное происхождение.
Применение итерационных методов также не всегда дает желаемый результат. Трудности связаны, в частности, с тем, что число итераций определяется скоростью сходимости вычислительного процесса к значениям искомой функции в узлах дискретизации, что может потребовать значительных затрат времени.
Таким образом, прямое применение аналитических и итерационных методов решения интегральных уравнений может быть связано с определенными трудностями при создании высокопроизводительных алгоритмов и, тем более, структур специализированных средств вычислительной техники, предназначенных для реализации интегральных моделей динамических систем.
Одним из эффективных методов приближенного решения интегральных уравнений является метод квадратур [24,28,34], важным достоинством которого являются простота его реализации и высокая устойчивость вычислительных алгоритмов. Устойчивость при этом обеспечивается за счет регуляризирующих свойств метода, причем параметром регуляризации является шаг квадратуры.
Необходимо отметить, что использование формулы левых и средних прямоугольников, а также трапеций для решения интегральных уравнений Вольтерра, обеспечивают сходимость метода, благодаря специфическим соотношением весов указанных квадратур. Для пояснения данного утверждения рассмотрим решение интегрального уравнения Вольтерра I рода
, (2.1)
методом квадратур.
При согласовании определенным образом шага квадратуры с мерой точности исходных данных, а также при отсутствии погрешностей в задании ядра и правой части уравнения (2.1) метод квадратур, основанный на аппроксимации интеграла в уравнении (2.1) квадратурной формулой правых прямоугольников, является сходящимся, т.е.
где удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений
где ; ; ; - шаг квадратуры, а - значение точного решения уравнения (2.1) в точке .
При переносе этих же результатов на случай левых и средних прямоугольников получаем соответственно:
и ,
где ; ; , при этом скорость сходимости оценивается величиной , т.е.
Формула трапеций является промежуточной между квадратурными формулами прямоугольников и формул более высокого порядка точности (типа Грегори, Симпсона и др.). Несмотря на то, что веса в крайних узлах формулы трапеций отличны от весов в остальных узлах сетки, метод квадратур, основанный на формуле трапеций, является сходящимся. Следует отметить, что скорость сходимости, как и в случае средних прямоугольников, имеет порядок . Анализ других квадратурных формул показал отсутствие квадратурной формулы, имеющей алгебраический порядок точности выше единицы и порождающей сходящийся алгоритм решения уравнения (2.1).
Таким образом, метод квадратурных сумм в случае использования квадратурных формул левых и средних прямоугольников, а также трапеций порождает сходящийся алгоритм приближенного решения уравнения (2.1).
Для однозначной разрешимости уравнения (2.1) на ядро уравнения , правую часть и ее производную накладываются различные ограничения. В общем случае, уравнение (2.1) имеет в интервале единственное непрерывное решение, если функции и имеют непрерывные производные , и , а не обращается в нуль на .
При решении интегрального уравнения (2.1) методом квадратур используется выражение
, , (2.2)
которое получается из исходного уравнения (2.1) при фиксированных значениях независимой переменной . Принимая значение в качестве узлов квадратурной формулы и заменяя с ее помощью интеграл в (2.2) конечной суммой, получаем систему:
, (2.3)
где - коэффициенты квадратурной формулы,
- значение искомой функции в узлах ,
; ; и - шаг квадратуры,
- ошибка аппроксимации.
Полагая ошибки малыми и отбрасывая их, получим систему линейных алгебраических уравнений:
, (2.4)
где - приближенные значения искомой функции в узлах .
В системе (2.4) невозможно определить значение , так как при интеграл в уравнении (2.1) равен нулю и . Поэтому для определения воспользуемся выражением
, (2.5)
полученным в результате дифференцирования уравнения (2.1) по при .
Теперь система (2.4), позволяет последовательно определить искомые приближенные значения по рекуррентной формуле
. (2.6)
Для вычисления можно воспользоваться различными интерполяционными способами, в частности, использование формулы квадратичной интерполяции позволяет получить выражение
. (2.7)
Окончательное расчетное выражение для приближенного решения уравнения (2.1) методом квадратур с использованием формулы трапеций имеет следующий вид:
при постоянном шаге (h=const):
(2.8)
где
при переменном шаге (общий случай):
(2.9)
где =[-3f(a)+4f(a+h)-f(a+2h)]/2h, .
Можно заметить, что при в интервале интегрирования для приближенного решения интегрального уравнения (2.1) невозможно применить расчетные выражения (2.8 и 2.9), так как при этом необходимо вып
- Київ+380960830922