РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ПОЛІВ ТА ЕЛЕКТРОДИНАМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ ЕЛЕКТРОСТАЛЕПЛАВЛЕННЯ
2.1. Рівняння електродинаміки для дослідження електромагнітних полів в електросталеплавильних печах
При теоретичному дослідженні взаємодії змінного магнітного поля зі струмопровідною рідиною в порожнині печі будемо виходити з повної системи рівнянь магнітної гідродинаміки, яка описує процеси, що відбуваються при русі струмопровідного середовища в електромагнітному полі. [6] Детальне викладення цих рівнянь з аналізом крайових та граничних умов, а також критеріїв подібності можна знайти в роботах [56-57]. Не торкаючись рівнянь руху рідини проведемо аналіз електродинамічних процесів. Запишемо повну систему рівнянь Максвела [10] при умові, що струми зміщення та об'ємні заряди не враховуються
(2.1)
(2.2)
(2.3)
, (2.4)
де - густина електричного струму;
- магнітна індукція;
- напруженість електричного поля;
- магнітна стала, Гн/м;
- магнітна проникливість рідини;
Т - час.
Рівняння Максвела являють собою незамкнену систему, але сумісно з рівняннями руху рідини [39], застосовуючи закон Ома, ці рівняння дозволяють утворити замкнену систему
, (2.5)
де - електрична струмопровідність рідини;
- швидкість руху рідини.
Одним з основних показників, що впливають на ефективність процесу плавлення металу є електродинамічні сили, що діють на метал та швидкість руху рідини. Зазначені показники є взаємопов'язані, але їх одночасне визначення досить складне, тому в рідкому розплавленому металі швидкість руху рідини приймаємо за постійну величину, яка приблизно дорівнює 1 м/с (зазначена величина швидкості отримана при теоретичних розрахунках [40, 106] з наступним підтвердження при проведенні експериментально-дослідних випробувань та відповідними числовими величинами термодинамічних критеріїв подібності, що мають значення ; ; ; ; ste=103-102;
N=10-104; Eum=10-5; HaN/Re=10-104; Prm=10-6; Ha1=Reэ/Rem=0,1-102, щільність металу кг/м3; динамічна в'язкість мНс/м2; питома провідність розплаву (Ом м)-1; питома тепломісткість розплаву Ср = 830 Дж/(кг 0К); коефіцієнт теплопровідності розплавів = 17 Вт/(м 0К); коефіцієнт температуропровідності м2/с). Прийняті значення дають можливість провести дослідження електромагнітних та електродинамічних параметрів в розплаві металу.
Характерним параметром електромагнітних полів є векторний електромагнітний потенціал , який визначається за допомогою співвідношення
. (2.6)
Необхідно зазначити, що введений таким чином векторний електромагнітний потенціал визначається з точністю до градієнта деякої скалярної функції [50, 135].
Використовуючи рівняння Максвела (2.1) сумісно з (2.6), отримуємо
(2.7)
де ? - скалярний електромагнітний потенціал.
Спростивши (2.7) отримуємо
. (2.8)
Рівняння Максвела (2.2), з урахуванням напруженості електричного поля (2.8) та закону Ома (2.5), набуває вигляду
. (2.9)
Враховуючи, що [16, 58], отримаємо з (2.9) наступне
. (2.10)
Якщо для вказаної печі в якості калібрувальної умови для векторного електромагнітного потенціалу [26, 72] вибрати
, (2.11)
то рівняння (2.10) спрощується
. (2.12)
Перейдемо до безрозмірних величин, для чого вводимо характерні масштаби довжини R0 (радіус циліндричної печі), швидкості ( - обертова швидкість поля), часу (відношення характерного розміру до характерної швидкості), густини електричного струму , векторного електромагнітного потенціалу та об'ємної електродинамічної сили . Тоді рівняння (2.12) перетворюється до безрозмірного виду
, (2.13)
де - безрозмірний векторний електромагнітний потенціал;
- безрозмірна швидкість течії рідини;
- безрозмірний час;
- безрозмірна густина електричного струму;
- безрозмірна магнітна індукція;
- відносна частота, яка має фізичний смисл квадрату відношення радіусу посудини до глибини проникнення магнітного поля в рідкий провідник. Як відомо, глибина проникнення змінного магнітного поля в провідник обмежена внаслідок скін-ефекту. Її можна знайти за формулою . Термін "відносна частота" не зовсім точно відображає фізичну суть цього критерію, хоча і є прийнятим. В цьому випадку доцільно застосовувати магнітне число Рейнольдса . Так як добуток має розмірність с/м2 (обернену розмірності кінематичної в'язкості) то називають електромагнітною в'язкістю. Таким чином, магнітне число Рейнольдса є відношення сил інерції до сил електромагнітної в'язкості. Введена вище відносна частота є магнітним числом Рейнольдса, яке побудовано за швидкістю магнітного поля.
2.2. Граничні умови для розрахунків електродинамічних процесів в електросталеплавильних печах
Граничні умови для здійснення розрахунків в даній роботі визначаються конструктивними особливостями електросталеплавильних комплексів зі змінним магнітним полем та записуються в безрозмірному вигляді. Область, в якій існує електромагнітне поле, являє собою круговий циліндр, заповнений рідким провідником струму (розплавом металу). Ця область обмежена за висотою, однак у ряді випадків скінченністю висоти сосуду можна знехтувати, що значно спрощує частину подальшого аналізу. [11]
Електромагнітне поле займає, як правило, значно більшу область простору печі, що складається з сукупності вкладених один в один співвісних кілець та циліндрів з різними фізичними властивостями. При цьому з'являються межі розділу, на який повинні виконуватися наступні умови [83]:
а) неперервність нормальної складової вектора магнітної індукції
; (2.14)
б) неперервність дотичної складової напруженості магнітного поля
; (2.15)
в) дотична складова